提升学生数学思维能力——《数表中的数学问题》教学反思

舒爱武

【教学过程】

一、观察数表 发现规律

师：仔细观察这个数表，这些数是怎么排列的？你发现了哪些规律？

（板书：发现规律）

生：2、4、6、8、10……都是双数，其他的都是单数。

生：都是连续的自然数，横着看，每个数都比前面一个数多1。

师：说明相邻的数相差几？

生：1。

生：竖着看，相邻的上下两个数相差8，因为有8列。

师：同学们很认真，发现了许多规律，这张数表中肯定会有更多的规律。今天我们就来探讨数表中的数学问题。

（板书课题）

二、提出问题 解决问题

（如图：在数表中画上这样一个十字框）

师：你能提出哪些数学问题？

生：这五个数的和是多少？

生：这个框中，横着的三个数和是多少？竖着的三个数的和是多少？

生：你发现了什么规律？

生：这5个数的平均数是多少？

师：对啦！还有没有思维更开阔一些的？

生：这五个数有什么关系？

师：这个问题非常好！数学就是研究数与数之间关系的学科。

师：现在提出了问题，那接下来该干什么？

生：解答问题。

（板书：解决问题）

师：我们先来解决“5个数的和是多少？”把方法用算式写在作业纸上。

师：老师把你们的方法抄在黑板上，还有不同的方法吗？

（板书：①2＋9＋10＋11＋18）②（2＋18）＋（9＋11）＋10③20×2+10 ④30×2－10）

师：还有不同的方法吗？

生：10×5＝50。

（板书⑤10×5＝50）

师：看着这个算式，有没有疑问？上面只有一个10？

生：把11拿一个给9，就是3个10，然后从18拿8到2这里也就是5个10。

师：这种方法可以取个什么名字？

生：移多补少。

（板书：移多补少）

师：还有方法吗？

生：我把中间那个数看作a，它左面的数就是a-1，右边的数是a+1，上面的数是a-8，下面的数是a+8，一共是5a，就是5乘10等于50。

（板书：a+a-1+a+1+a-8+a+8＝5a）

师：这位同学讲得非常清楚，刚好解释了第五种方法，为什么可以用10×5来求五个数的和。

师：我们会求这五个数的和了。你能提出类似的问题吗？

生：框出的5个数是5、12、13、14、21，这五个数的和是多少？

师：刚才同学的提问，是告诉大家框中的五个数分别是多少，其实，你用不着每个数都告诉，就能求出五数的和。

师：你会选择告诉大家哪一个数就能求出来？

生：中间数是13，五个数和是多少？

生：13×5=65。

师：5个13哪里来的？

生：14移 1给 12，21移 8个给5，得到5个13。

师：你发现了什么？

生：中间数就是平均数。

师：所有的中间数都是它们的平均数吗？

生：这个数在这个表中是对的。不同的数表就不一定了。

师：如果框的形状也不同，就要观察研究后再确定。

师：中间数是13，这个数在表中看得到。你还能大胆地提出类似问题吗？

师：如果中间数是a，和是多少？

生：a×5＝5a。

师：中间数是★，和是多少？

生：★×5＝5★。

师：我们怎样求5个数的和？

生：中间数×5。

（板书：中间数×5＝和）

师：非常好。刚才告诉5个数，求它们的和是多少？是顺向的问题。那我们也可以提出逆向的问题吗？你来试试。

生：如果5个数的和是145，这五个数是多少？

师：谁来分享一下，你是怎么思考的？

生：（黑板上边板书边讲）先求中间数145÷5＝29，再左边少1是28，右边多1是30，上边减8是21，下边加8是37。

师：为什么只要求出中间数，就能通过加减来求出周围的数？

生：左右相差1，上下相差8。

师：想不想再挑战一下，数字变大了，和是160，这五个数是多少？

生：中间数是160÷5＝32，左边是 31，右边 33，上边24，下边 40。

师：讲得非常完整。你们都是这样的吗？（学生齐答“是”）

师：只有一位同学说“不是”，你说说为什么？

生：32 后面没有 33，33 在下面一行了。这个表格中框不出这样的五个数。

师：想到什么问题了呢？

生：如果32的右边是33的话，就要9列。那么它们的上下就不是相差8了，是相差9了。

师：所以呢？

生：这个问题不成立。

师：是的，这张数表中不能框出这5个数。因为32不能作中间数。还有哪些数不能作中间数呢？

生：第一行。

师：还有吗？

生：还有第一列，第八列。

师：怎样用数学语言清晰地表达？

生：小于等于8的数和8的倍数都不能作中间数。

（板书：≤8）

师：8的倍数除以8，余数都是几？

生：0。

（板书：（）÷8 余0）

生：第一列的所有数除以8余数是1。

（板书：（）÷8 余1）

师：这道题目还引发我们思考：在这个数表中，和是160的5个数是框不出来的。哪5个数的和最接近160呢？

生：把框向左平移一格，和是 155，少了 5。

师：为什么是少5？

生：向左平移一格，每个数都少了1，共少了5。

师：还有不同的解释吗？

生：原来中间数当作32×5＝160，向左平移一格后，中间数变成 31，31×5＝155。

师：如果把下面这个框平移一格，那么5个数的和会发生什么变化？

（出示一个把5个数都遮住的十字框）

生：可能有四种情况：向右平移一格，每个数增加1，和增加5；向左平移一格，每个数少1，和减少5；向下平移一格，每个数增加8，和增加8×5=40；向上平移一格，每个数减少8，和减少8×5＝40。

师：你会提出相关的数学问题，让同学解答吗？

生：把这个框向下平移1格，中间数是几？

师：能不能再大胆一点，提出表格中没写出的数呢？

生：把这个框向下平移10格，中间数是几？

生：21+8×10＝101。

师：这是一个方向平移的问题，能提出两个方向都平移的问题吗？

生：这个框，先向右平移2格，再向下平移5格，五个数分别是多少？

师：要知道5个数分别是多少，只要知道中间数就能推出，那我们就看谁先求出中间数。

生：向右平移2格要加上1×2，再加上向下平移5格，增加的是 5×8＝40，结果是21+2+40＝63。

（板书：21+1×2+8×5＝63）

师：大家非常迅速就解答了，那会不会提出双向的又是逆向的问题呢？

生：框中5个数的和是235，这5个数与下面框相比，向下、向右各平移了多少格？

师：说说你的思路，我们可以课后再去计算。

生：先求出5个数的中间数。再看比10多了几个8，就是向下平移几格；多出几，就是再向右平移几格。

师：同学们的表现真是太棒了！如果不断地研究下去，还会发现数表中更多的数学问题。

三、回顾总结 反思方法

师：今天学习数学的方法是什么？我们有什么新收获？

生：我们发现了数表中的规律。我们会求框出的5个数的和是多少。

生：我们先观察发现规律，提出问题，再寻找方法来解决问题，在解决问题的过程中又发现新的规律。

师：总结得非常好。其实如果数表排列变了，框的形状变了，我们都可以用这种方法进行学习。我特别欣赏大家能自己提出问题，分析问题，并想办法解决问题，又在解决问题的过程中不断地发现新的问题。数学家研究问题就是经历了这样的过程，一些科学研究也是这样的经历。同学们这种自主学习的状态非常棒！

【课后反思】

一、提问，培养学生的问题意识

本节课从头至尾让学生发现规律，从中提出问题。出现数表后，尝试提出问题“框出的五个数的和是多少？”“这五个数有什么关系？”当学生解决了问题，再引导“你能提出类似的问题吗？”。指导提出问题的方法，刚才我们提的问题都是顺向的，也可以反向提问；刚才我们是单向提的问题，也可以双向提问……一节课，让学生不断地提出问题，解决问题，在解决问题的过程中又提出问题。课堂中舍得花这么多时间让学生去提问题，因为提出一个问题比解决一个问题更重要，前者需要有创造性的想象，而后者也许仅仅是一个技能。

二、提问，提升学生的思维能力

通过在解决问题的过程中不断的提问，渗透培养学生的洞察能力，模型思想及不断推测其他的结果等。关注学生思维的品质，如思维的敏捷，看到数表中上下相差8，马上想到“每列都一样吗？”“中间数就是平均数吗？”还有思维的深度，当让学生求和是160的五个数是多少？而数表中不能框出这5个数时，激起学生的质疑，为什么不行呢？怎样的数不能作中间数呢？一步步引入深层次的思考，让学生经历问题研究的过程。取得阶段性的成果，前进中又遇到一些问题，并想办法解决这些问题。数学家研究问题就是经历了这样的过程，一些科学研究也是这样的经历。

三、提问，关注知识间的联系与运用

在整个探究过程中，运算能力、空间观念、模型思想，融合运用。“5个10的和是多少？”学生展示3种方法，后面又补充了两种方法，共有5种方法。就求出结果来说，这些方法是没有好坏之分的，无非就是效率的问题。但是作为教育任务的数学，好的方法联系到数感、运算能力、模型思想，因此需要花时间去讨论这些好的方法。“哪些数不能作中间数？”学生开始主要是根据空间位置来判断的，回答是第一行、第一列、最后一列。引导学生用数学语言描述，就出现了小于8的数、8的倍数，除以8余数是0，除以8余数是1。“怎样的5个数和最接近160？”“平移后，五个数和会发生什么变化？”引导学生思维进行空间的转化——平移，运算与空间有机结合。