方程在数学建模中的思想及应用研究

肖潇

【摘 要】在大学数学学习中，常微分方程是非常重要的一项学习内容。在本文中，将就方程在数学建模中的思想及应用进行一定的研究。

【关键词】方程；数学建模；思想；应用

1.引言

在初等数学中，方程类型有指数方程、三角方程以及线性方程等类型，而对于这部分方程来说，其在实际应用当中的作用有限，并不能够对所有的实际问题进行解决。在该种情况下，要做好实际问题的研究，就需要能够寻找能够对部分条件进行满足的未知数方程。其中，数学建模正是对实际问题当中复杂程度较高现象进行分析的有效方式，在实际数学知识学习中，通过对其中能够以数学语言描述规律以及关系的發展，则能够在将恰当数学关系进行抽象的基础上实现向数学问题的转化，并通过数学系统方式的应用求解数学问题，以此实现对现实问题的解释。

2.常微分方程同数学建模的结合

对于事物来说，其始终处于发展与变化的过程当中，而其中部分对象的特性，也将随着时间的发展而逐渐变化，且在变化当中具有一定的规律性，以此则能够实现其未来状态的预测，而要想寻找到对其控制的方式，则需要做好对象动态模型的建立。在根据不同类型对象进行建模处理之前，则需要能够提前根据实际需要解决的问题类型以及建模目标进行假设以及简化处理，之后再根据对象内部当中存在的规律以及类比情况列出相关的微分方程，在求解方程、将其实现为实际对象翻译后做好相应的描述、分析等工作。数学建模的过程，其实质正是具有较强创造性思维的过程，在该过程中，将对实际问题本质进行分析的基础上实现问题的解决，不仅内容来自实际，在获得结果之后，也会将其科学的应用在实际问题的解决。根据该种情况，在面对实际问题需要处理时，就需要能够提前选择好解决问题的切入点，在充分联系方程内容、特点的情况下体现数学建模思想。对于数学建模思想的培养而言，其为具有长期、持续特征的过程，并不会立即获得效果，且同积极的钻研具有不可分割的关系，同纯粹能力不同，其在实际运行中也离不开相关的锻炼以及培养，通常来说，在对模型建立时，其也将具有较为明显的动态特点，该种特点的存在，则使我们在对方程进行推导时具有着非常繁琐的特征，且具有十分简明的结果，并在此基础上给出正确的解释。对此，在实际问题处理当中就需要对两项内容进行充分而全面的结合，在对其作用充分发挥的情况下解决更多的实际问题。

3.数学建模中常微分方程的应用

3.1新产品推广

在管理科学以及经济学当中，经常需要对经济变量边际、变化以及增长相关问题进行研究，通常情况下，不仅需要能够做好实际情况的充分把握，还需要在此基础上按照要求建立模型，及时寻找到其中蕴藏的经济变化规律，并做好预测以及分析处理。目前，模型具有着较多的类型，其中更常见的即为推广、价格调整以及人才分配模型，在该项研究中，我们以推广模型为案例进行研究。在该题目中，首先设某企业具有一项新产品需要面向市场推广，t时刻下，该产品在市场中销量为x（t），由于该产品在性能方面具有较好的表现，具有较好的宣传力，对此，在t时刻，该产品的增dt/dx同x（t）之间成正比。考虑到产品在销售当中具有市场容量N，经过统计则可以发现，dt/dx对没有对产品进行购买顾客的潜在销量N-x（t）具有正相关关系，由此可得：

dt/dx=kx（N-x）

其中，常数k为比例系数，始终大于0，在对积分以及变量进行分离后，则可以获得有：

x（t）=

所得到的该表达式即称之为逻辑斯蒂曲线，由=以及=可以发现：当00，即销量x（t）为单调增加，当x（t ）=时，=0。经过分析发现，当销量为最大需求量N的50%时，此时该产品最为畅销，当销量没有达到50%时，销售速度则将处于不断增加的状态，当销量在50%以内时，其销量速度则将逐渐减小。

3.2动力学模型

在微分方程当中，动力学是早起内容，其基本定理即为f=ma。该定理也正是我们以微分方程解决动力关系问题的关键方式。当物理处于自由下落过程中时，有两项将对其产生重要的影响，其中第一项因素为重力作用，第二项因素即为阻力作用。在这两种因素中，物理下落速度降同重力间具有正相关的联系，同空气阻力具有负相关联系。此时，则可以设运动员的质量为m，其在跳伞过程中，降落伞因受到空气阻力影响，则将同下落速度间具有正比的关系。此时，求该将落下降速度的变化规律。具体解答方面，首先将空气的阻力系数设为k，在t时刻下，物体的下落速度为v，于是在t时刻下，其将受到的力为f=mg-kv，根据牛顿第二定律，则可以列出微分方程为：m=mg-kv，在经过对变量的分析处理后，可得=，在经过积分处理后得到：-ln|mg-kv|=+C1，在求解后，则可以得到，当t取向正无穷情况下，可以获得limv（t）=。

根据测定，k=αρs，其中，ρ为介质密度，s为物体在地面上投影面积，α为同物体形状具有关联的常数。在实际设计中，将根据该公式对降落伞所需的直径大小进行计算，即当跳伞着在空中的时间足够长时，其到达地面的速度同常速mg/k近似相等，且不会超出该常速，在该种情况下，该名跳伞着才能够安全的降落到地念，且其自由落体将根据加速度g落到地面。

4.结束语

经过上文的一系列研究，我们则可以了解到，数学相关理论的形成， 正是为了解决实际生活当中问题而进行的，而在实际建立数学模型的过程中，也正需要使用数学理论作为指导使其能够在实际问题解决当中实现自身作用的充分发挥，并提前做好理论形成情况以及理论自身的理解，以此更好的解决实际问题。在实际生活中，即在充分观察问题的基础上转化理论向能力的过程，并通过建模方式的应用不断实现常微分方程的求解，使其在相关领域当中能够实现自身作用的充分发挥。通过该方面的研究，也为我们未来数学知识的学习带来了新的思路，在未来学习当中，需要能够做好该思想的把握，在实际当中更好的实现数学知识的运用。

【参考文献】

[1]程文琪，葛虹.结构方程建模在管理学研究中的应用[J].统计与决策.2012（22）

[2]王晓.在偏微分方程教学中融入数学建模思想[J].怀化学院学报.2009（11）

[3]郭广寒，刘庚.数学建模推进大学数学教学改革的探讨[J].中国电力教育.2014（06）