解析高中几何教学常用的方法

江绍乾

解析几何是用代数方法研究几何的一门数学学科，解析几何是高考的重点，难点和热点尤其是解析几何中的计算比較困难。而现在的高考特别提出“多考想，少考计算”，可见，目前高考更突出考查考生的分析、推理、转化的数学逻辑思维能力，那么根据目前的高考形式如何在解析几何中避免繁杂、冗长的计算，即简化计算，也就成了处理这类问题的难点与关键。解析几何题目中常用的简化运算的技巧有：圆锥曲线的概念、条件等价转化、形助数、设而不求等。下面以几道高考中的解析几何题为例来说明，希望能为高中数学教学提供一些帮助。

1.特值探路法

对定点与定值问题的求解，可先利用“特值探路”的方法（如直线的斜率为0、斜率不存在等）确定定点坐标或定值，然后只需验证一般情况即可。解答此类问题要大胆设参，运算推理后参数必消，定点、定值自然显现。

例1（2014·山东理21）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|=|FD|。当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形。

（1）求C的方程。

（2）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E。

①证明直线AE过定点，并求出定点坐标。

②△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。

解析：（1）由题意知p〔，0〕。

设D（t，0）（t>0），则FD的中点为〔，0〕。

因为|FA|=|FD|，由抛物线的定义知3+=|t-|，解得t=3+p或t=-3（舍去）。由=3，解得p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x。

（2）①证明：由（1）知F（1，0）。

设A（x0，y0）（x0y0≠0），D（xD，0）（xD>0）。因为|FA|=|FD|，则|xD-1|=x0+1，由xD>0得xD=x0+2，故D（x0+2，0）。故直线AB的斜率kAB=-。因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为y=-x+b，代入抛物线方程得y2+y-=0，由题意Δ=+=0，b=-。设E（xE，yE），则yE=-，xE=。当y20≠=-=，可得直线AE的方程为y-y0=（x-x0），由y20=4x0，整理可得y=（x-1），直线AE恒过点F（1，0）。当y20=4时，直线AE的方程为x=1，过点F（1，0）。所以直线AE过定点F（1，0）。②由①知，直线AE过焦点F（1，0），所以|AE|=|AF|+|FE|=（x0+1）+=x0+〔+1〕=x0++2。设直线AE的方程为x=my+1，因为点A（x0，y0）在直线AE上，故m=。设B（x1，y1）。直线AB的方程为y-y0=-（x-x0），由y0≠0，得x=-y+2+x0。代入抛物线方程得y2+y-8-4x0=0，所以y0+y1=-，可求得y1=-，x1=+x0+4。所以点B到直线AE的距离为d===4〔+〕则△ABE的面积S=×4〔+〕（x0++2）≥16，当且仅当=x0，即x0=1时，等号成立。所以△ABE的面积的最小值为16。

点评：（1）由抛物线的定义可求C的方程；（2）利用直线方程的点斜式求出直线AE的方程，进判断过定点；将面积的表达式找到，再探究其是否存在最小值。

2.定义法

直接利用圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义或圆锥曲线的统一定义解几何问题的方法，称为定义法。

例2.（2014年重庆理8）设F1、F2分别为双曲线-=1（a>0，b>0），的左、右焦点，双曲线上存在一点p使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|-|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（ ）

（A） （B） （C） （D）3

解析：由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=3b，所以（|PF1|+|PF2|）2-（|PF1|-|PF2|）2=9b2-4a2，即4|PF1|-|PF2|=9b2-4a2，又4|PF1|-|PF2|=9ab，因此9b2-4a2=9ab即， 则 ， 解得 = {=-舍去}，则双曲线的离心率

点评：本题主要考查双曲线的定义与性质，意在考查考生的基本运算能力。

3.数形结合思想

数形结合的思想包含“以形助数”和“以数助形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用方程的曲线来直观地说明曲线的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。

4.设而不求

高考题一直注重对考生的数学基本能力的考查，特别是强调考查考生的运算求解能力.寻找简捷、合理的运算途径是运算求解能力的核心.而“设而不求”就是在运算求解时比较好的一种方法，可以大大地减少繁琐的计算量.在处理直线与圆锥曲线相交问题时，一般技巧是设出交点坐标，但不求出，利用韦达定理和相关坐标转化问题，这就是“设而不求法”

5.函数与方程思想

函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程（组），然后通过解方程（组）使问题得到解决的思维方式。函数与方程思想是贯穿解析几何的一条主线，解析几何是通过平面直解坐标系沟通平面几何、函数、方程的纽带。

6.转化与化归思想

转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化等。各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学