电磁轨道发射状态下的复合导轨动态响应研究

田振国, 孟晓永, 安雪云, 白象忠

(燕山大学 建筑工程与力学学院 河北省重型装备与大型结构力学可靠性重点实验室， 河北 秦皇岛 066004)



电磁轨道发射状态下的复合导轨动态响应研究

田振国, 孟晓永, 安雪云, 白象忠

(燕山大学 建筑工程与力学学院 河北省重型装备与大型结构力学可靠性重点实验室， 河北 秦皇岛 066004)

电磁炮导轨中通入电流后，电枢受到电磁力作用沿轨道移动，由于导轨受到安培力和电枢压力的作用，会引起轨道内表面的磨损、刨削现象，限制了电磁轨道炮的使用寿命。而铜基复合轨道可以同时具备有良好的导电性能、耐烧蚀能力以及较高的强度，在大功率多次发射的电磁轨道炮中具有较好的应用前景。将复合导轨简化为弹性地基梁，并对其受力特点进行力学分析，应用二维Fourier积分变换，得到复合导轨在移动荷载作用下动态挠度的一般解，进而得到电磁轨道发射状态下复合导轨的动态响应。分析了复合轨道的几何尺寸、通入电压等参量对复合导轨动态响应的影响。计算结果表明：电枢压力对轨道变形的影响远大于轨道间斥力的影响；合理的复合层厚度占比可以改善轨道的动态性能。

兵器科学与技术； 复合轨道； 动态响应； Fourier变换； 移动荷载； 弹性地基梁

0 引言

电磁炮采用电磁发射方式，理论上能比传统发射方式获得更高的速度，并且可以节约能源与减少反应时间，有较大的应用潜力。但是，一些难以克服的问题阻碍了其实际应用[1]。如导轨内侧的烧蚀[2]，发射过程中的稳定性、导电性与刚度支撑等问题。目前国内外学者一方面在改善导轨或采用新的导电方式来避免导轨刨削与烧蚀[3]；另一方面，通过计算导轨的动态响应及应力分布，来分析其受力及变形规律，进而为导轨设计提供理论依据[4-5]。文献[6]将导轨简化为弹性地基梁，并假设电枢匀速通过导轨的情况下，讨论了导轨长度等参量对共振速度的影响。文献[7]用数值模拟的方法，分析了等离子体的黏滞阻力和惰性阻力对电枢运动的影响。文献[8]分析了电磁轨道炮发射时后坐运动的特征，获得了一定条件下的后坐运动曲线。但是，这些研究并没有考虑电枢对导轨作用力和电枢的变加速运动的动态特征，也很少将轨道作为复合结构体进行动态力学分析，对复合型导轨动态响应的研究十分少见。当电流通入复合导轨后，电枢将受到强大的推力作用并沿导轨作变加速运动。由复合导轨间电磁场分布及通入电枢的电流强度，可得到电枢受到的推力，进而得到电枢的运动方程；通过计算复合导轨间相互作用的斥力与在焦耳热作用下电枢的膨胀量，可得到复合导轨上的移动荷载值及其变化规律。本文考虑电磁炮发射装置的实际结构，将简化为弹性地基梁的复合导轨的控制方程进行Fourier变换，导出了在发射过程中复合导轨的动态响应方程及其精确解。并通过算例，分析了铜- 钢复合导轨构成的材质比例及接入电压等参量对复合导轨动态响应的影响，从而可为发射轨道的设计提供理论计算参考依据。

1 复合导轨的动力学控制方程的建立及其解

复合导轨横截面尺寸如图1所示，轨道内层、外层材质分别为钢和铜，相应的参量符号分别用下角标Fe、Cu来区分。钢的弹性模量为EFe，厚度为hFe，截面上的正应力为σFe；外层铜的弹性模量为ECu，厚度为hCu，截面上的正应力为σCu；轨道宽度为d，轨道间距离为b，复合轨道中性轴距顶层距离为c(见图2)。

图1 复合轨道截面图Fig.1 Cross section of composite rail

图2 复合轨道应力分布Fig.2 Stress distribution of composite rail

电磁导轨炮发射装置如图3所示。电流由一侧导轨流入，经过电枢后由另一侧导轨流出；电枢受到在两导轨间产生强磁场作用的电场力后，沿导轨滑动。在此过程中，导轨主要受到导轨间相互作用的斥力、电枢对导轨的压力和导轨固定装置的弹性支撑力的作用，故可将导轨看作如图4所示的弹性基础梁，由弹性基础梁理论可得到其动力学控制方程[9]为

图3 复合梁导轨发射装置简图Fig.3 Schematic diagram of composite rail launcher

(1)

式中：IFe、ICu分别为钢、铜的惯性矩；w(x,t)为复合导轨的挠度；q(x,t)=qr(t)[1-H(x-l(t))]+qp(t)H⎣a2-(x-l(t))2」为作用在导轨上的移动荷载，qr(t)为导轨间相互作用的斥力集度，qp(t)为电枢作用在导轨上的压力集度，a为电枢沿x轴方向的长度，l(t)为t时刻时电枢的移动距离，H(x-l(t))、H⎣a2-(x-l(t))2」为Heaviside阶跃函数；k为地基弹性系数；λ为复合导轨的平均质量密度；h=hFe+hCu、d分别为导轨的厚度和宽度。

图4 复合导轨的受力简图Fig.4 Force diagram of composite rail

对(1)式进行x、t的二维Fourier变换，得到[10]

(2)

(3)

对(3)式进行Fourier逆变换可得到

(4)

2 发射过程中导轨与电枢的受力分析

2.1 复合导轨发射过程的供电电压

将导轨发射器看成是电源的负载，导轨为沿其长度分布的电阻和电感，因为是复合轨道，可将内层轨道和外层轨道看作并联电路。在正常发射状态下，发射时供电电压[11]为

(5)

式中：L′r(x)为导轨电感梯度；i(t)为流经导轨的电流强度；v(x)为电枢速度。

导轨发射装置的负载电阻[12]为

(6)

式中：R0为初始负载电阻；导轨发射装置的电感为

Lr(x)=L0+L′r(x)x,

(7)

2.2 电枢推力的计算

如图5所示，电流由一侧导轨流入，穿越电枢，然后由另一侧导轨流回，则根据通入内层、外层导轨的电流强度iFe(t)、iCu(t)可以得到导轨间任一点A(xA,yA,zA)的磁感应强度:

图5 坐标系的建立Fig.5 Establishment of coordinate system

(8)

式中：μ0为真空磁导率。

考虑到复合轨道的性质及电流分布特点，对其沿整个电枢体积进行积分，便可得到电枢受到电磁驱动力沿轨道方向的合力。随着电枢的移动，整个电流通路的电阻也将发生变化。如果外加的是恒定电源，则通入轨道的电流强度、导轨间的磁场、流经电枢的电流密度、电枢受到的推力都将是时间的变量。由电枢中的电流值，可计算出电枢上任一点受到的洛仑兹力[13]。按体电流计算，沿整个电枢体积进行积分便可得电枢受到电磁驱动力沿轨道方向推力的合力为

(9)

2.3 两导轨间相互作用的斥力计算

由于导轨通入电流会在轨道之间产生磁感应强度为B的电磁场，所以导轨间会受到相互作用的斥力，由安培力计算公式结合导轨间任一点产生的磁感应强度可得电枢经过的导轨部分受到的斥力集度近似为

(10)

考虑到复合轨道是贴合在一起的，这里将轨道受到的斥力等效作用在整个复合轨道的表面。

2.4 电枢与轨道间接触力计算

当电流流经电枢时，其内势必产生热量。因电磁轨道发射装置通常采用电容单次放电的形式，可近似地认为电流在电枢内均匀分布。如果仅考虑电枢表面与外部的热交换，即电枢所发出的热量：一部分用于增加电枢的焓，另一部分则损失于外界，此时电枢温度就会沿电枢y方向分布[14]：

(11)

假设两侧轨道限制了电枢的热膨胀，且沿y方向取平均温度作为电枢应变的计算依据，由于作用时间非常短暂，可忽略温度随时间的变化，则得电枢的热应变[15]为

(12)

式中：αl为电枢材料的线膨胀系数。则电枢作用在复合轨道上的荷载集度[16]为

(13)

式中：Ea为电枢材料的弹性模量。

3 发射过程中的复合导轨动态响应

复合导轨通入强电流后，电枢将做变加速运动，滑动过程中导轨会部分受到相互作用的斥力和电枢作用力。将(1)式中的q(x,t)经Fourier变换后得

(14)

将(14)式代入(4)式积分，并考虑狄拉克函数(δ函数)的性质：

(15)

可得电枢沿复合轨道滑动时导轨挠度表达式为

(16)

再结合(10)式、(13)式可得导轨发射过程中的导轨动态响应，则可用Matlab得到复合轨道的数值解。

4 算例分析

如图1所示，复合导轨内层、外层材质分别为钢和铜，取导轨长度为2 m，内层钢质复合层厚度hFe=5 mm，外层铜质基层厚度hCu=15 mm，两导轨间距离b=20 mm. 钢的质量密度ρFe=7 850 kg/m3，弹性模量EFe=200 GPa，电导率σFe=9.93×106S/m；铜质导轨的质量密度为ρCu=8 900 kg/m3，弹性模量ECu=115 GPa，电导率σCu=5.88×107S/m；系统初始负载电感L0=0，导轨电感梯度L′r=0.451 24 μH/m，初始电阻R0=0.1 Ω. 铝质电枢沿导轨方向长度a=20 mm，电枢的厚度和高度都为20 mm，弹性模量Ea=70 GPa，电导率σa=3.6×107S/m，质量密度为ρa=2 700 kg/m3，热传导系数λa=237 W/(m·℃)，表面放热系数αa=500 W/(m2·℃)，线膨胀系数αl= 2.35×10-5℃-1. 地基弹性系数k=10 GPa，真空磁导率μ0=1.256×10-6H/m，系统放电电压U0=70 000 V，导轨两端自由。

图6为复合导轨在不同放电电压作用下，电枢的移动情况，可见通入的电压越高，发射时间越短。放电电压U0=90 000 V比U0=70 000 V时发射时间少大约0.3 ms. 图7为在不同放电电压下电枢加速度aa随时间t变化曲线，由于电容放电特性及电枢推力是由导轨间电流在电枢内产生的磁场与电枢电流作用产生的，可以看出，在开始放电瞬间，电枢加速度迅速增大，随着时间的增加，由于系统电阻的增加及放电电压的变化，导致电流密度强度下降，从而导致电磁推力减小，电枢加速度下降。

图6 电枢移动距离随时间变化曲线Fig.6 Armature moving distance vs. time

图7 电枢加速度随时间变化曲线Fig.7 Armature acceleration vs. time

图8为导轨在不同放电电压作用下导轨0.8 m处的挠度值变化，放电电压越高，挠度峰值越大，放电电压U0=90 000 V比U0=70 000 V时挠度峰值增大了1倍多，且当电枢移动到该位置处时，对应位置的挠度达到最大。图9为外加电压U0=80 000 V时，导轨的0.8 m处不同力作用下的挠度值随电枢移动距离变化。由图9可知，导轨发射前段该位置的挠度很小，当电枢到达0.8 m处时，挠度急剧增大，电枢经过后挠度又变小，可见电枢对轨道变形的影响远大于轨道间斥力的影响。

图8 放电电压对导轨0.8 m处挠度的影响Fig.8 Effect of discharge voltage on deflection of rail at 0.8 m

图9 导轨0.8 m处挠度随电枢移动距离变化曲线Fig.9 Deflection of rail at 0.8 m vs. armature moving distance

相比较电枢对轨道挠度的贡献，轨道间斥力对挠度贡献值要小得多。图10和图11分别表示了外加电压U0=80 000 V时，导轨间斥力与电枢作用力对挠度值贡献。由图10可知，仅考虑导轨间斥力作用时，发射前段挠度接近于0，随着电枢的移动，影响增大，电枢到达0.8 m处后，挠度快速达到峰值w=3.57 μm，之后缓慢变小并趋于平稳，但影响程度小得多，挠度值变化小于4 μm；由图11可见，当电枢到达0.8 m处时，此处挠度急剧增大，最大值约为w=2.148 mm，电枢经过后，该点挠度又快速变小。这也正反映了两种载荷的不同性质，同时表明电枢力的作用是主要的。

图10 导轨相互作用斥力对0.8 m处挠度影响Fig.10 Effect of repulsion on deflection of rail at 0.8 m

图11 电枢作用力对0.8 m处挠度影响Fig.11 Effect of armature reaction on deflection of rail at 0.8 m

图12为外加电压U0=80 000 V，复合导轨内层、外层厚度比为1∶3时，导轨不同位置的挠度随电枢移动距离的变化。图12中不难看出，不同位置的挠度出现峰值的时间不同。当电枢滑动至相应位置时，挠度出现峰值，且各点挠度的最大值变化并没有显著的规律。图13为外加电压U0=80 000 V，厚度比分别为1∶3、1∶2和1∶1时，导轨0.8 m处的挠度值随电枢移动距离的变化曲线。从图13可以看出，厚度比为1∶3时挠度峰值最大，约为厚度比为1∶1时的2倍，一方面是因为铜的弹性模量比钢的弹性模量小，导致复合梁整体的抗弯刚度降低，另一方面是因为铜质基层厚度的增加，减小了整体的电阻，提高了轨道内电流强度的值，在增加了发射速度的同时也增加了轨道的负载。

图12 导轨不同位置挠度随电枢移动距离变化曲线Fig.12 Deflection vs. armature moving distance at different positions

图13 复合导轨0.8 m处挠度随电枢移动距离变化曲线Fig.13 Deflection of rail at 0.8 m vs. armature moving distance

5 结论

由计算结果可见：复合导轨的动态响应与材料性质、接入电压等参数有关，而导轨的挠度主要受电枢作用力影响；复合导轨一点处的挠度值随电枢移动而变化，并在电枢移动到该点时达到最大；复合材料的属性对轨道的影响是多方面的，钢复合层的厚度增加会提高整体的刚度，但同时增加了系统的电阻，降低了发射效率，因此在进行复合轨道设计时需综合考虑轨道变形和发射效率两方面的影响，合理选择设计参数。

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Dynamic Response of Composite Rail during Launch Process of Electromagnetic Railgun

TIAN Zhen-guo, MENG Xiao-yong, AN Xue-yun, BAI Xiang-zhong

(Key Laboratory of Mechanical Reliability for Heavy Equipment and Large Structures of Hebei Province, College of Civil Engineering and Mechanics, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, Hebei, China)

Armature is subjected to an electromagnetic force to move along the composite rail when electric current flows into the electromagnetic rail. The inner surface of the rail may be worn and planed due to ampere force and armature pressure, which limits the service life of the electromagnetic rail gun. Copper-based composite rail has good conductivity, corrosion resistance and higher strength. The composite rail is simplified as an elastic foundation beam, and its mechanical characteristics are analyzed. The general solution of the dynamic deflection of composite rail under moving load is obtained by using the two-dimensional Fourier transform. The dynamic response of the composite rail under the launching of electromagnetic railgun is obtained. The influences of the geometrical dimensions of composite rail and the input voltage on the dynamic response of composite rail are analyzed. The results show that the influence of armature pressure on the rail deformation is much larger than that of the repulsive force, and the dynamic property of rail can be improved by using the reasonable proportion of composite layer thickness.

ordnance science and technology; composite rail; dynamic response; Fourier transform; moving load; elastic foundation beam

2016-10-11

河北省自然科学基金项目(A2015203086)

田振国(1975—), 男，副教授。E-mail: tianzhenguo1@163.com

白象忠(1942—), 男，教授，博士生导师。E-mail: baixiangzhong@sina.com

TJ866； O343.3

A

1000-1093(2017)04-0651-07

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.04.004