桥梁高墩柱结构非线性动力研究

■袁统一

（福建省交通建设质量安全监督局，福州 350003）

桥梁高墩柱结构非线性动力研究

■袁统一

（福建省交通建设质量安全监督局，福州 350003）

本文论述了三线型恢复力模型和双线型恢复力模型机理及其应用于结构动力分析的差异，前者比后者考虑因素更为全面，也更接近混凝土构件破坏的实际情况。当混凝土开裂和钢筋屈服后，结构进入塑性阶段，此时受各种因素的影响，采用到非线性分析必然会造成系统的最大的Lyapunov指数大于零，也就是系统会进入分叉和混沌的工作状态。

结构工程 动力响应 恢复力模型 分叉 混沌

1 引言

举世震惊的5.12汶川大地震，人员伤亡惨重和财产损失巨大的主要原因是房屋倒塌，桥梁等交通设施损坏严重，这使我们不得不再次从结构动力学非线性分析理论、设计规范、施工监理检测和实际工程验收等各个环节上，对已有的各种文件、标准、资料等进行重新审视。其中，结构非线性分析中恢复力模型的选择对结构设计的计算结果有较大的影响，并可能改变构件的配筋，从而导致结构延性需求和实际耗能能力的变化。

通常,恢复力模型必须包括两方面的内容[1]：骨架曲线和滞回环。骨架曲线是滞回环峰值点连线的包络，它非常接近于我们在实验室单调加载条件下（静态或准静态）分级增量型的破坏全过程曲线，而滞回环却是在往复（而非重复的）动力荷载下产生的梭形，弓形（捏缩）或倒S形（粘性滑移）循环的近似闭合曲线。骨架曲线上可以清楚地发现三个特征点：混凝土开裂、钢筋屈服和极限破坏，而滞回曲线上刚度退化，钢筋屈服后反向再加载的鲍辛斯克效应，混凝土裂缝反复张开闭合和钢筋界面滑移也都能得到反映。目前最常用的适合于结构非线性分析的恢复力模型见图1～2。

双线型模型在钢结构中应用普遍，也用在钢筋混凝土结构的初步分析，模型简单（图1），卸载时刚度并不退化，且卸载至恢复力为零后直接指向反向屈服点4，后续再加载时直线指向经历过的位移最大点5，刚度退化容易识别，图1中k1为弹性段初始刚度，k2为弹塑性段分量刚度。

图1 双线性模型

图2 三线型模型

三线型模型稍微复杂，但它更加符合钢筋混凝土结构的恢复力模型特性（图2），其上特征点对应于混凝土开裂，钢筋屈服和构件破坏极限状态三种情况，图2中k1为弹性段初始刚度，k2为混凝土开裂至钢筋屈服前刚度，k3为硬化刚度。当k3=0时成为滑移模型，即屈服后钢筋与混凝土界面产生滑移，进入完全塑性阶段。卸载刚度在屈服前为弹性刚度k1，屈服后为屈服点2的割线刚度，刚度退化的规则同双线型模型。

需要说明的是，在结构从线弹性—弱非线性—强非线性—极限破坏全过程中，特别是最后强非线性到临近破坏，由于混凝土裂缝的反复张拉闭合和碰撞，与上述恢复力模型相互耦合和共同作用，已经发现：它必然会造成系统的最大的Lyapunov指数大于零，出现如图3所示的相空间轨迹和图4所示的Poincare截面（频闪图），也就是系统处于分叉和混沌的工作状态[2]。从非线性动力学角度看，需要我们把注意力集中到时间序列相空间重构的最佳嵌入维数和延迟时间 、分叉与混沌产生的条件 、混沌系统中吸引子突然消失或突然膨胀的激变现象等，因为非线性系统的稳态解强烈地依赖于初始条件。混沌系统从本质上来说是整体稳定而局部不稳定或随机性很大的运动方式，它倘若是常见的能量耗散系统，最终要收缩到相空间的有限区域，即吸引子（吸引子可能是稳态平衡点或是极限环，也可能是继续不断泛化的奇怪吸引子）。此外，混沌系统的轨道指数型分离，必须经过无穷多次缠绕和折叠，从几何学上形成分形集，必须用现代分形几何学来描述，这已超过了本文的研究范围，其结果将另文发表。

图3 相空间轨迹图

图4 Poincare截面（频闪图）

2 多自由度体系非线性分析中几个重要问题的处理方法与程序实现

多自由度体系非线性分析必须使用增量形式的动力学方程[3]：

对于非线性体系，除了特殊的几个简单例子外（如杜芬方程），一般的振型方程不可能解耦，也就是说不存在通常线性条件下的“振型向量”或“Ritz基向量”的概念，方程的求解只能通过数值计算的时程分析方法，而数值方法的“稳定性”是一个关键的因素，采用线性加速度方法时，为确保稳定，要求Δt<0.551TN,若体系最高阶振型周期TN=0.01s，则Δt<0.00551s，这种过分的要求导致了我们必须寻找无条件稳定的方法[4]：平均加速度法或威尔逊θ法，但平均加速度法有一个欠缺，它不能提供数值阻尼，而威尔逊θ法则是基于加速度在延伸时间步δt=θΔt内为线性变化的假设，当θ≥1.37时是无条件稳定的。类似的还有纽马克β法，用α,β两个参数来控制，本文采用威尔逊θ法。

其次，当选定结构中需要考虑轴向力和横向变形的P-Δ效应时[5]，程序中采用一个附加的三对角几何刚度矩阵[Ks]e来考虑，其中

则动力方程成：

此外，对于拐点的处理是非线性分析的重要内容之一，恢复力模型中的拐点分类为二类：第一类是因为刚度改变产生。第二类是由加卸载状态改变产生。已经提出了不少的对拐点处理方法[6-8]，如二分法、线性插值、泰勒展开[9]、不平衡力修正、朱镜清方法等，本文采用的是泰勒展开法。

程序中处理拐点是用一种缩小积分步长，即令Δt′p= Δt（0

图5 二类拐点的处理

取二项有：

由此确定p的值为：

由于点A、B、C均为已知，可求出p和B点的速度及加速度：

对图中的卸载点E,根据

由此，必须有：

3 计算实例及分析

某桥梁高墩柱为五层（每个连系梁算一层）钢筋混凝土结构体系，结构的特征参数为：各层质量、刚度、开裂位移和屈服位移如表1：第一至第五层第一折减刚度系数为0.4，第二刚度减刚度系数为0.1，地震波采用400gal El Centro波，采样周期为0.02s。结构的恢复力模型分别采用双线型模型和退化三线型模型计算，所得最大位移及速度结果见表2。

表1 各层质量、刚度、开裂位移和屈服位移

表2 不同模型下最大位移及速度

图6 顶层位移比较图

图7 顶层速度比较图

图8 顶层加速度比较图

图9 各层峰值楼面位移比较图

图10 双线型模型计算结果

图11 退化三线型模型计算结果

根据表1、表2及图6～图9的计算结果可知：

（1）由图6、图9的计算结果显示：整个地震荷载作用时程中，各层峰值楼层位移用退化三线型模型计算结果大于双线型模型，与直观的估计相同；从相位上看，前者混凝土开裂到钢筋屈服需要时间，因此，前者的地震响应稍微滞后于后者，各层中第三层相差最大为：71.679-45.865=25.414mm顶层相差为：125.32-108.66=16.66mm。

（2）由图7、图8的计算结果看出：速度、加速度用退化三线型模型计算结果与双线型模型在幅值和相位上虽有一定的区别，但相差不大，其中速度的幅值在相位上相差较大。

（3）图10与图11，即位移速度相空间轨迹线[10]显示，用退化三线型模型计算的结果比双线型模型更加偏离原点（平衡点），说明考虑混凝土开裂和钢筋屈服两种因素比单纯考虑钢筋屈服造成的系统非线性更加强烈。

4 结论

强烈地震中构件恢复力模型的选择对结构非线性计算结果有较大的影响，本文的主要结论如下：

（1）考虑混凝土开裂，钢筋屈服和构件破坏极限状态的三线型刚度退化模型比双线性简化模型不但动力响应的幅度较大，而且其相位相对滞后，二者在结构的中间各层（而不是顶层或底层）其横向位移相差较大。

（2）三线型恢复力模型考虑因素比较全面，也比较接近构件破坏的实际情况，若从实测或实验资料获得具体工程的开裂和屈服位移，则结构的非线性分析全过程，包括破坏前构筑物所历经的复杂位移速度轨迹线和最终的破坏形态就能够完全确定。

（3）强非线性条件下，动力学系统极有可能进入整体稳定而局部不稳定的混沌状态，只有用相应的非线性动力学研究方法和理论，如重构相空间最佳嵌入维数和延迟时间、Lyapunov指数、Poincare截面、关联维、分形几何学等，才能比较彻底解决问题。

[1]何政,欧进萍.钢筋混凝土结构非线性分析[M].哈尔滨工业大学出版社.2006.

[2]Anil K.Chopra.结构动力学（第2版）[M].高等教育出版社,2005.

[3]Anil K.Chopra.Structural dynamics（Second Edition）[M]Higher education press,2005.

[4]吴堔,周瑞忠.基于Hilbert谱的结构动力响应非线性特征分析[J].振动与冲击，2013，32（14）：70―76.

[5]徐赵东,郭迎庆.Matlab语言在建筑抗震工程中的应用[M].科学出版社.2004.

[6]刘金堂,杨晓东,张宇飞.轴向运动大挠度板的非线性动力学行为[J].工程力学，2011.28（10）:58―64.

[7]刘彦琦,张伟.参数激励粘弹性传送带的分岔和混沌特性[J].工程力学,2010,27（1）:58―62,68.

[8]殷振坤.轴向运动薄板的非线性振动研究[D].广州:中山大学,2007.

[9]何四祥,邹祖军.混沌运动在一类非线性结构振动中的数值模拟研究[J].结构工程师,2007,（01）.

[10]尹志刚,周瑞忠.综合考虑节点半刚性、材料非线性与二阶效应的钢框架计算[J].福州大学学报（自然科学版），2002.