理解定义关联概念，解后反思走向教学——一道新定义考题的思路突破与教学思考

☉河南省郸城县教研室 于杰

☉河南省郸城县第二高级中学

理解定义关联概念，解后反思走向教学
——一道新定义考题的思路突破与教学思考

☉河南省郸城县教研室 于杰

☉河南省郸城县第二高级中学

当前流行的函数综合题多是以常见的函数图像（直线、曲线、抛物线）为背景，融入几何基本图形进行一些演算或推证，难点往往在几何构造，与函数的性质或本质甚至没有直接相关性，使得不少命题研究者将上述试题归到所谓“伪坐标系”“伪函数题”.本文结合一道北京海淀区中考模考的新定义题，讲解思路突破，反思问题结构，并跟进教学思考，供研讨.为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不变值.在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度.特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q为0.例如，图1中的函数有0、1两个不变值，其不变长度q等于1.

图1

图2

一、考题及思路突破

考题：（2016年北京海淀区中考二模，第29题）对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值

（2）已知函数y=2x2-bx.

①若其不变长度为0，求b的值；

②若1≤b≤3，求其不变长度q的取值范围；

（3）记函数y=x2-2x（x≥m）的图像为G1，将G1沿直线x=m翻折后得到的函数图像记为G2.函数G的图像由G1和G2两部分组成，若其不变长度q满足0≤q≤3，分析m的取值范围.

理解新定义：在开始求解具体问题时，我们先对所谓的新定义进行直观理解，构造图2分析，作出直线y=x，与原函数图像相交于点O（0，0）、A（1，1）.这样新定义提及的所谓不变长度就是两点纵坐标的差|yA-yO|=1-0=1.我们用初中生熟悉的数学符号语言将问题重新表述之后，有利于后面思路的讲解与突破.

思路突破：

（1）有了上面的准备工作，我们就可构造出图3~图5直观理解，直接看出答案：函数y=x-1没有不变值；函数有-1和1两个不变值，其不变长度为2；函数y=x2有0和1两个不变值，其不变长度为1.

图3

图4

当然，我们也可“离开”图形，从“数”的角度算出答案.比如，函数y= x-1与直线y=x联立得方程组该方程组无解；类似的，联立得方程组可得交点（1，1）或（-1，

图5

（2）①函数y=2x2-bx的不变长度为0，就是将其与直线y=x联立后的方程组有两组相等的实数解,即一元二次方程2x2-bx=x有两个相等的实数根，根据Δ= 0可解出b=-1.此时抛物线y=2x2+x与直线y=x有且只有一个公共点（0，0），符合不变长度为0的要求.

由1≤b≤3，得1≤x2≤2.不变长度为x2-x1，代入x2的极值,可分析出y=2x2-bx的不变长度q的取值范围为1≤q≤2.

（3）首先想清楚抛物线y=x2-2x与直线y=x交于点O（0，0）及A（3，3），这样我们就可依次构造出图6~9的可能情况，注意图象的虚像与实数是由自变量x≥m及对称（沿直线x=m翻折）后的实像与虚像.

图6

图7

在图6中，当m=3时，可见到此时新图像G（两个实像分支组合而成）与直线y=x恰交于一点A（3，3），此时不变长度q为0.符合要求（0≤q≤3）.想象将直线x=m向右平移（m＞3），则新图像G与直线y=x就没有交点了，说明m＞3时不合题意.

接下来将直线x=m向左平移，如图7所示，1≤m＜3时，新图像G与y=x交于点A（3，3），还有另一点B，在线段AO上，显然此时不变长度q满足0≤q≤3，故1≤m≤3符合要求.

接着将直线x=m向左平移，0≤m≤1时，如图8，新图像G与y=x交于点A（3，3），还有另一点C，在AO的延长线上，此时q＞3，与0≤q≤3矛盾.

图8

图9

继续将直线x=m向左平移，如图9，可以想见翻折后的抛物线与直线y=x有一次相切的情况（图9中点D），此时设该抛物线的解析式为y=（x-n）2-1，易得n=-，即此时y=（x+）2-1，根据对称性，此时m=-；就是说，此时不变长度q对应着A、D两点的纵坐标之差，不符合0≤q≤3的要求.而当直线x=m继续向左平移时，新图像G左侧部分与直线y=x就没有交点了，这样不变长度q又回到A、O两点之间的纵坐标之差，符合要求.则m＜-符合题意.

解后反思：这道新定义考题除了表述新定义时附了一个简单的图形，下设小问都没有给出图像，但是我们却可以根据题意构造出丰富的图像辅助理解，体现了以形助数的解法特点，特别是最后一问，需要结合直线x= m的位置，想清楚虚像、实像，并理解实像与直线y=x的交点的意义，这样考查思考、函数图像性质的考题较好地达到了“多想少算”的命题风格，值得点赞.

二、关于新定义考题的教学思考

在近几年北京中考试题的引领下，北京各区七、八、九年级的把关题都积极跟进，出现了大量优秀的新定义考题，引领了教学方向，重在启发学生思考，学会思维，理解数学概念的本质，以下再围绕新定义考题的教学，提出一些初步的思考.

1.学会阅读并准确理解新定义是成功解题的起点.

新定义考题开始的几段话或几句话都是阐释新定义的内容，并会辅以必要的例子、图形来解释新定义，就像数学上很多描述性定义一样（比如，形如……的式子称为分式）.在解答新定义考题时，不要急着看后续设问，而应该在阅读理解新定义语句、字符时下足功夫，做到读懂、读通、读顺新定义中的每一个字句、每一个字符、图形上的每个线条的特点、字母的特点、位置的特点等.我们见到不少同学不能顺畅解答新定义考题，往往是对总题干中的新定义没有能准确理解所致.

2.善于将新定义相关概念与所学概念关联、对比.

新定义考题常常是初中阶段所学的一些概念穿靴戴帽、乔装改扮而来，在阅读理解新定义后，要结合题干中所举的例子、图形认真分析，发现所谓新定义与此前初中数学哪一个数学概念、数学性质有关联，关联在何处.比如，上面考题新定义的本质就与一次函数中正比例函数y=x相一致，只是包装了一个说法而已，接下来对于不同形式的函数，只要将其与y=x联立成方程组解出它的解即可继续分析.

3.解函数类新定义题要注重“数形结合”的分析策略.

本文述及的考题是一道函数类新定义题，下设几个小问虽然没有给定图像，但是解题时心中要有图形意识，我们在上文中构造出多个图形就是想传递数形结合分析策略，因为直观的图像理解有助于对问题的思考，也是符合函数本质的（函数的关系就是沟通数形关系）.特别是考题的最后一问，我们构造了图6~图9，试图从动态的角度直观发现图像G与直线y=x的交点情况，最容易忽略的就是图9中有一次相切的情形，而这又对应着一元二次方程根的判别式为0.为了帮助学生更好地从数形结合的角度分析最后一问，教学时可设计出如下的一些提示问题：

问题1：当m=1时，画出函数G的图象；

问题2：当m=3时，指出函数G的图像与直线y=x的交点坐标；

问题3：当m=-1时，指出函数G的不变长度q；

问题4：函数G的不变长度q满足0≤q≤3，分析m的取值范围.

四、写在后面

近年来在《中学数学（下）》见到一些新定义考题的教学研讨文章，多数集中在解法探讨，深入到如何开展新定义考题的教学设计，让更多优秀的、抽象的新定义考题能以更生动、形象的面貌呈现在课堂上，我们要做的研究还很多，本文只是由一道新定义考题述及一些初步思考，做得还不够，期待今后继续努力，研发新定义考题的“一题一课”.

1.甘晓云.以退为进：挑战新定义考题的有效策略——北京海淀九上期末卷第29题解析与赏析［J］.中学数学（下），2017（2）.

2.许燕.从解题赏析走向教学研究—以2016年无锡卷第27题为例［J］.中学数学（下），2016（10）.

3.秦怡.回到概念，让解题念头“自然生成”——从一道几何难题的思路突破说起［J］.中学数学（下），2017（2）.

4.郑毓信.“开放的数学教学”新探［J］.中学数学月刊，2007（7）.