数学三角函数解题常见误区探讨

余文泰

摘 要：重点分析了高中数学三角函数解题的常见误区，主要从三角函数平移概念问题、求角问题以及函数图像问题三个方面入手，强调了解题过程中容易出现的错误，并给出了正确的解题方法，希望能够为高中同学提供参考。

关键词：高中数学；三角函数；解题；常见误区

中图分类号：G4 文献标识码：A doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2016.33.165

0 前言

三角函数是高中数学中的重要知识点，在高考中也占据着重要位置。在三角函数解题过程中，易出现一些思维误区，进而导致解题错误。通过对三角函数常见误区进行分析，使同学加强对易出现问题的关注，避免在解题过程中出现上述情况，进而提升答题技巧。

1 三角函数平移概念问题

平移问题是高中三角函数中的重要问题，此中题型较为常见，同时在解题过程中，也很容易出现失误。总的来说，解决评议问题不能仅仅以公式为主，也不能仅仅以图像为主，而是要将两者结合起来，这样才能提高问题的解决效率。

例1：曲线方程为2y+ycosx-1=0，将上述曲线首先沿着x轴的方向向右平移π/2個单位，在此基础上，沿着y轴向下方平移1个单位，求解平移之后的曲线方程。

A.2y-（y+1）sinx+1=0

B.2y+（y+1）sinx+1=0

C.2y+（y-1）sinx-3=0

D.2y+（1-y）sinx-3=0

题目要求在上述四个选项中，选择出正确答案，该题目的解题误区往往在于没有充分将函数与图像结合，导致解题失误，出现上述失误的原因一般与解题经验不足有关，对此，应采用以下方法求解：

解：

第一步：将曲线方程2y+ycosx-1=0进行转换，将y单独放在等式左边，将其余部分整理，放在等式右边，最终得出的方程如下：y=1/（cosx+2）。

第二步：根据题目要求，应将上述方程沿着x轴向右平移π/2个单位，因此方程中的x值需要减去π/2，如此可以得到方程沿着x轴平移之后所得到的曲线函数，即y=1/{cos（x-π/2）+2}。

第三步：根据题目要求，在沿x轴平移之后，还应将曲线沿y轴向下平移1个单位，因此，需要将y值减1，如此可以得到原方程平移完成之后的曲线函数，即y=1/{cos（x-π/2）+2}。

第四步：将方程y=1/{cos（x-π/2）+2}进行整理，最终得到2y+（y+1）sinx+1=0，因此本题应选答案B。

2 函数图像问题

函数图像问题也是高中三角函数解题过程中容易出现误区的问题，在求解过程中，应重视函数的变形，这样才能避免解题出现错误。

例2：求函数y=cosx/3，x∈[0，4π]的值域。

在上述题目求解过程中，容易出现以下错误：

错误解题方法：

第一步，将x/3看作t，将其在y=cos（x/3）中进行替换，即可得到y=cost，由于x∈[0，4π]，因此可以得到t的取值范围，即t∈[0，4/3π]。

第二步，在上述步骤的基础上，将t的值设置为4/3π，此时y便能够取得最小值，进而求得函数的取值范围即[-1/2，1]。

在上述解题过程中，第一步为正确解题思路，但第二步并没有结合图像分析问题，这是造成解题失误的主要原因，对此，需要结合函数图像对解题过程进行综合考虑。正确的解题方法如下：

正确解题步骤：

第一步，将x/3看作t，将其在y=cos（x/3）中进行替换，即可得到y=cost，由于x∈[0，4π]，因此可以得到t的取值范围，即t∈[0，4/3π]。

第二步，将上述函数的取值与图像相结合，在t=0的情况下，可以得出y的最大取值，即1。在t=π的情况下，可以得出y的最小取值，即-1。

第三步，综合y的最大与最小取值，可以得出y的取值范围，即y的值域，为[-1，1]。

3 三角函数取值范围问题

在解题过程中，同样容易出现忽视三角函数的名称的问题，这一失误是导致这部分题型解题错误的根源。

例3：α与β均为锐角，已知sinα=55，而sinβ=1010，求α与β相加的值。

错误解题方法：

第一步，根据α与β均为锐角之这一已知条件，得出α与β相加的取值范围，即0<α+β<π。

第二步，根据sinα与sinβ的值，得出cosα与cosβ的值，分别为255和31010。

第三步，将sin（α+β）展开，并将cosα与cosβ的值代入，最终得出sin（α+β）的值，为22。

第四步，在求出sin（α+β）的基础上，得出两者相加的值，即π/4或3π/4。

正确解题思路：

上述解题方法中，前三步解题思路均正确，但问题在于，上述解题过程并未对α+β的取值范围进行明确的限制，仅仅将其限制在0到π的范围内，会导致其取值范围过大。

对此，在对α+β的取值范围进行限制的过程中，应根据sinα与sinβ的值来进行判断，由于上述两者的值明确，据此可得出，α的取值范围在0到2π之间，而β的取值范围则在0到π/6之间。将两者相加，可得出其α+β的取值范围，即在0到π/3之间。

综合上述条件，可以得出α+β=π/4。

由此可见，在针对这一类型的三角函数题目进行解题的过程中，必须要重视有关取值范围的问题，要避免将其取值范围扩大化，要在综合考虑多种因素的基础上，得出其正确范围，并将其代入到解题过程中，以使解题结果能够更加准确。

4 结论

在高中三角函数解题过程中，同学们对取值范围的确定会存在一定的失误，这主要由考虑问题不全面所导致，因此，解题时必须全面考虑问题。除此之外，多数同学极容易忽略有关函数图像的问题，对此，在解题时，必须时刻考虑到函数的图像，要将数形结合的方法进行综合应用，深入渗透到每一题型的解决过程，这样能提高解题效率，同时保证解题的准确性。

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