巧用割补法求解初三综合题中的三角形面积

郑小咏

摘 要：巧用割补结合的方法求解不规则三角形面积。

关键词：直角坐标系；不规则三角形面积；辅助线

这几年来我一直在带毕业班，分析这几年的中考试题，在与函数结合的综合大题中常有涉及求解不规则三角形面积的題型。这类问题往往涉及代数、几何知识，有一定的难度，但此类题型又有较好的选拔功能，能考查学生对数学的思维能力、思维方法素质，是中考的热点题型。针对这种题型，我个人认为选择相应的解题方法是个值得重视的问题，方法选得适当，可使思路清晰、过程简捷，达到事半功倍的目的。本文通过实例来谈谈如何巧用割补结合的方法解决此类问题。

例1：已知一次函数y1=x+m的图象与反比例函数y2=的图象交于A、B两点，已知当x>1时，y1>y2；0

（1）求一次函数的表达式；

（2）已知反比例函数在第一象限的图象上有一点C到y轴的距离为3，求△ABC的面积。

解：此题的第（2）步很明显△ABC的三条边不在坐标轴上，直接利用三角形底高公式求面积显然比较困难。若只用割和补中的一种方法求解，计算量很大，那该怎样解决这个问题呢？我们可以运用分割粘补兼而有之的方法进行求解：我们选过A作AE垂直于X轴于点E过C作CF垂直于X轴于点F。由已知条件易求得A（1，6）、C（3，2）、B（-6，-1）、D（-5，0）、G（-3，0）。通过割补，图形中出现许多易于求解面积的图形。这时，S△ABC可通过这些图形的面积加减得到，观察易得，S△ABC=S△BDG+S△ADE+S梯形AEFC-S△CGF=×（2×1）+×（6×6）+×（2+6）×2-×（6×2） =21。

一般来说，与函数结合的求解三角形面积通过向坐标轴作垂线来分割补全图形的方法，这也是我们常用的分割补图的技巧。经过这样的分割，补出的图形面积易于求解、底高明显。抓住这一特征，则此题还可以有类似的求解方法。如下：

过B作X轴的平行线BM，再分别过A、C作AE垂直于BM，CF垂直于BM，垂足分别为E、F，则S△ABC=S△BEA+S梯形AEFC-S△BCF=×（7×7） +×（7+3）×2-×（9×3）=21。

例2：在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0）、B（0，-4）、C（2，0）三点

（1）求抛物线对应的二次函数的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S。求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值。

本题的第二步中因为M是变化的点所以造成△ABC是变化的，当然面积也随之变化，显然求面积不能直接用公式了，那么怎样利用割补方式得到面积呢？用坐标轴作垂线构置直角图形是我们方法的巧妙之处，同时M点又在AB线段的同侧，问题更加简单了。

解：（1）易得函数y=x2+x-4

（2）过M作MD垂直于X轴于点D，设点M坐标（m，n），则AD=m+4，MD=-n=-m2-m+4

通过分割，图形不规则四边形AMBO中出现了△AMB，△ABO，△AMD，梯形DMBO，观察易得

S=S阴影△AMB=S△AMD+S梯形DMBO- S△ABO

=×（m+4）×（-n） +×（-n+4）×（-m）-×（4×4）

=-m2-4m=-（m+2）2+4 （-4

看似复杂的动态三角形面积在我们的妙割下变得简单了。

例3：如图抛物线y=-x2-x+3与X轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）与Y轴交于点C

（1）求点A、B的坐标；

（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标。

分析：（1）步应很容易求得A（-4，0）、B（2，0）

（2）题中由y=-x2-x+3 知C坐标（0，3）对称轴x=-1连接AC、BC

AC=

D为变化点，可设D（-1，t），由题意可讨论D在AB上和AB下两种情况，

当D在AB上方时，显然ACD面积是不易直接求得的，我们还是对它进行巧妙割补，向坐标轴作垂线，与坐标轴的直角组合产生易求图形。过D作DE垂直于X轴垂足为E，则分割补后产生直角三角形AED、直角梯形DEOC、直角三角形ACO，则

当然，此题也可以直接用割的方法得到，做法是过D作DE垂直于X轴，交AC于M点，则 △ ACD被分割成△ADM△CMD 。而这几个三角形有相同的底DM而它们在DM底上的高的和就是AO，所以我们只要求得DM的长面积自然也就算出来了，但相对于割和补结合来说，DM的计算相对麻烦些，计算也繁琐些。此题（2）步中当D在AB下方的情况和上方相似，大家不妨试着运用一下。

例4：（2015·漳州中考）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，请解决下列问题.

（1）填空：点C的坐标为（ 0 ， 3 ），点D的坐标为（ 1 ， 4 ）；

（ 2）设点P的坐标为（a，0），当|PD﹣PC|最大时，求α的值并在图中标出点P的位置；

（3）在（2）的条件下，将△BCP沿x轴的正方向平移得到△B′C′P′，设点C对应点C′的横坐标为t（其中0

首先易解得B′C′的解析式为y=-x+3+t，点B′坐标（3+t，0），点M坐标（t/2，（6-t）/2）。

现在，我们取0

解法一：S = S△B′C′P′-S△BMP′-S△BNB′=×6×3-（6-t）×××（6-t） - t×2t=-t2+3t；

解法二：S = S△BCE-S△CMC′-S△C′NE=××3-×t×t -×（-t）×（3-2t）=-t2+3t；

解法三：S = S四边形BEC′P′-S△BMP′-S△C′NE=×[（6-t）+（-t）]×3- （6- t）×-×（-t）×（3-2t）=-t2+3t

通过以上举例可以看出，对不易求解的不规则三角形进行分割补图的关键是如何巧妙的制作辅助线。一旦打通了正确制作辅助线这关键的一环，解题思路自然会畅通起来，思维能力和水平也就随之提高。本题型中的主要辅助线是过某特定点向坐标轴作垂线或平行线，并结合坐标轴及坐标轴的垂线使图形得到巧妙的割补就是解决问题的关键和技巧所在，希望大家在解题中要多观察多思考多总结多动手相信对数学思维能力思想方法素质的提高将有很大的帮助。