Besov空间到Bloch型空间上的加权微分复合算子

许 毅，侯晓阳

(1.温州大学 数学与信息科学学院，浙江 温州 325035；2.温州商学院 基础部，浙江 温州 325035)

Besov空间到Bloch型空间上的加权微分复合算子

许 毅1，侯晓阳2*

(1.温州大学 数学与信息科学学院，浙江 温州 325035；2.温州商学院 基础部，浙江 温州 325035)

设φ为单位圆盘D上的解析自映射，u为D上的解析函数。本文讨论从Besov空间Bp,q到α-Bloch型空间ℬα的加权微分复合算子Dnφ,u，通过构造复杂的检验函数得出了算子有界性和紧性的充分必要条件。

有界性；紧性；加权微分复合算子；Besov空间；Bloch型空间

设0＜p＜∞，-1＜q＜∞，若函数 f满足：

其中dA(z)是D上的Lebesgue测度，则称 f属于Besov空间Bp,q。

当 p=2时，B2,q=ℌq是加权Dirichlet空间；由文献[1-2]可知，当1＜p＜∞时，Bp,p-2=Bp为解析Besov空间，并且Bp是Bloch空间ℬ的一个子空间；另由[1]中的定理4.28得，当 p＞0时，是Bergman空间。

设D=D1是微分算子，即Df=f′。对∀n∈ℤ+，有，规定D0f=f，∀f∈H() D。

其中u∈H(D )，φ是D上的一个非常值的解析自映射。

定理2 设u∈H(D )，φ为D上非常值的解析自映射，且0＜p＜∞，-1＜q＜∞，则加权微分复合算子是紧算子的充分必要条件是是有界算子，且

在无其他说明的情况下，以下均假设：

另外，E表示与z，w等无关的正常数，且在不同的地方可以表示不同的数。

1 定理1的证明

为了证明定理1，我们需要用到下述引理。

引理1[8]设 f∈Bp,q，z∈D，则有

下面证明定理1。

证明 充分性：对任意 f(z)∈Bp,q，根据三角不等式和引理1，有

另一方面

由式(5)，(6)得到

为此固定ω∈D，引入函数

不难验证 fω∈Bp,q，且

经计算可得

因此由式(7)-(11)及ℬα中范数的定义，得

由上式可知

由上式得到

由(12)及(13)可得(1)成立。

对(2)式，同样固定ω∈D，考察函数

2 定理2的证明

在定理2证明过程中需要用到下面引理。

引理2是文献[9]中的命题3.11的特殊情况，取X=Bp,q，Y=Bα即可。

定理2的证明如下。

由于 fk在D的紧子集上一致收敛于0，由Weierstrass定理可知在D的紧子集上也一致收敛于0，又因为是有界算子，由定理1可得(1)，(2)成立，因此存在K0∈ℤ+，使得当k＞K0时，有

利用(14)，(15)可得，当k＞K0时，有

这里 fk为(8)中定义的函数。由(9)-(11)得

对于|z|≤r＜1有

所以 fk在D的紧子集上一致收敛于0。

由引理2，结合式(16)可知

由此及|φ(zk)|→1-得

因此(3)成立。

对(4)式，取检验函数

类似(3)证明讨论可得。

[1]Zhu K H.Operator Theory in Function Spaces[M]. 2nd ed.America:American Mathematical Society, 2007.

[2]Zhu K H.Analytic Besov spaces.J.Math.Anal.Appl, 1991,157:318-336.

[3]Zhu K.Bloch type spaces of analytic functions[J]. Rocky Mountain Journal of Mathematics,1993,23(3): 1143-1177.

[4]Zhu X.Products of differentiation,composition and multiplication from Bergman type spaces to Bers type spaces[J].Integral Transforms&Special Functions, 2007,18(3):223-231.

[5]Lou Z.Composition operators on Bloch type spaces [J].Analysis,2003,1(1):81-95.

[6]Li S,Steve’s S.Weighted composition operators from Zygmund spaces into Bloch spaces[J].Appl Math Comput,2008,206(2):825-831.

[7]唐笑敏,胡璋剑.Bergman空间和q-Bloch空间之间的复合算子[J].数学年刊A辑(中文版),2006,27(1): 109-118.

[8]韩 秀.几类全纯函数空间上的加权复合算子[D].浙江师范大学,2009.

[9]Cowen C,MacCluer B.Composition operators on spaces of analytic functions[M].Studies in Advanced Mathematics,CRC Press,Boca Raton,Fla,USA, 1995.TransAmer Math Soc,2013,365(7):3593-3612.

Weighted differentiation composition operators from Besov spaces to Bloch type spaces

XU Yi1，HOU Xiao-yang2*
(1.College of Mathematics and Information Science，Wenzhou University,Wenzhou ZheJiang 325035,China; 2.Department of Basics,Wenzhou Business College,Wenzhou ZheJiang 325035,China)

letφbe an analytic self-map of the unit diskD,andube an analytic function onD.The boundedness and compactness of the weighted differentiation composition operatorDnφ,ufrom Besov spaceBp,qtoα-Bloch type spaceℬαis discussed in this paper,and some necessary and sufficient conditions are obtained by constructing complex test functions.

boundedness;compactness;weighted differentiation composition operator;Besov space;Bloch type space

O177.2

A

1004-4329（2017）01-013-04

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2017）01-013-04

2016-11-10

侯晓阳（1982- ），男，硕士，讲师，研究方向：算子理论与泛函分析。Email：xyhou@wzbc.edu.cn。