一类包含Lévy跳的随机时滞单种群模型的依分布稳定性

吕慧斌，刘志军

(湖北民族学院理学院，湖北恩施445000)

一类包含Lévy跳的随机时滞单种群模型的依分布稳定性

吕慧斌，刘志军

(湖北民族学院理学院，湖北恩施445000)

考虑白噪声和Lévy噪声共同扰动环境，讨论了一类具有离散时滞和分布时滞的自治单种群模型.运用相关理论知识，得出了该模型依分布渐近稳定的充分条件.最后用一个具体的数值模拟验证了理论结果的可行性.

白噪声和Lévy噪声；自治系统；离散时滞；分布时滞；依分布渐近稳定性

基于Halbach[1]领导的研究群体所做工作的基础上，Freedman和Wu[2]1992年提出了一类具有离散时滞的非自治单种群模型:

其中:x(t)是t时刻种群的规模，系数b(t)，c(t)，e(t)分别表示种群x(t)的内禀增长率、自身抑制率和再生率，τ(t)是时滞项，相关系数分别满足b(t)>0，c(t)>0，e(t)≥0，τ(t)≥0，t∈R＋＝[0，＋∞).当b(t)≡b，c(t)≡c，e(t)≡e，τ(t)≡τ时，一个对应的自治系统如下:

在现实世界中种群的动态不可避免地会受到环境噪声的扰动，从而使得种群的出生率、竞争率以及其它的参数表现出一定程度的随机波动.在这些环境噪声中，被学者广泛应用和研究的一类环境噪声是由Brownian运动的形式导数所刻画的噪声:白噪声[3－6].本文假设内禀增长率b以如下的方式受到白噪声的扰动:

其中:η为大于等于0的常数，η2表示白噪声的强度(或噪声级)，B′(t)是定义在完备概率空间(Ω，F，P)上的布朗运动B(t)的形式导数，即白噪声.这里的概率空间具有满足一般条件的滤子{Ft}t∈R＋.此外本文还假设种群的历史状态会影响目前种群的动态.因此考虑上述因素模型(2)可变为:

这里μ(θ)是定义在区间(－∞，0]上的概率测度，h为大于等于零的常数.

另一方面，一些突发的且严重的环境扰动现象会对生态种群的数量产生巨大的影响.例如:地震、飓风、海啸、火山爆发、传染病等[7－10].由于白噪声连续平稳的随机扰动特性，使其无法更好的描述这些剧烈的环境扰动现象.近几年一些学者开始把Lévy噪声引入到随机模型当中并用它来描述这些不连续的随机扰动现象取得了许多好的成果[11－12].

受到上述建模思想的启发，对模型(3)做进一步的推广得到如下模型:

这里初值条件x0＝ξ>0，ξ属于相空间Cg且满足:

其中:g(θ)＝e－κθ，κ>0，Cg是个Banach空间.

在模型(4)中x(t－)＝，N(dt，du)表示依据Lévy过程产生的Possion计数测度，Lévy噪声的噪声级δ(t，u)是定义在(R＋；Y)上大于－1的连续有界函数，Y是R＋的一个可测子集.泊松计数测度的补偿测度N～(dt，du)满足:N～(dt，du)＝N(dt，du)－λ(du)dt.λ定义Y上代表泊松计数测度的强度测度且满足λ(Y)<∞.本文始终假设B(t)与N(dt，du)是相互独立的且模型(4)满足如下两个条件:

1)∀ω>0，并且｜x｜∨｜y｜≤ω，存在常数Iω使得其中

2)存在一个常数m>0，使得｜ln(1＋δ(u))｜≤m成立.

1 模型(4)的依分布稳定性

文献[12]已经得到系统(4)的全局正解存在唯一性、绝灭性、持久性等结果，本文在此前提下进一步研究系统(4)的依分布稳定性.类似文献[13－14]可以给出模型(4)依分布渐近稳定的定义和一个相关的引理.

定义1 过程x(t)称为是依分布渐近稳定的，若存在一个Cg上的概率测度ϕ使得x(t)的转移概率密度ρ(t，ξ，·)当t→＋∞时，对每一个初值x0＝ξ∈Cg都弱收敛于ϕ.

引理1 对任意的初值条件ξ∈Cg，模型(4)几乎处处存在唯一的全局正解x(t)，并且对任意的β>0，存在一个常数M(β)>0使得

引理1的证明类似于文献[8]中定理3.1的证明，这里省略.

定理1 当c>e＋h时，模型(4)是依分布渐近稳定的.

证明 假设系统(4)满足初始条件ξ∈Cg和ξ－∈Cg的两个解分别为xξ(t)和x－ξ(t)，定义函数如下:

对上式应用Itô公式可得:

再定义:

令V(t)＝G1(t)＋G2(t)，计算V(t)的微分可得:

对不等式(7)两端作0到t的积分后再求期望得到:

另一方面，由模型(4)得到:

根据E(x(t))的连续可微性和引理1并参照文献[14]中引理4的第一步，类似可以证明dE(x(t))/dt≤M，这里M是一个正常数.因此E(x(t))是一致连续的.再由Barbalat′s引理[15]有:

假定P(t，ξ，dα)为随机过程x(t)的转移概率，P(t，ξ，Υ)表示满足初始条件x0＝ξ∈Cg的解x(t)∈Υ的概率.由引理1和切比雪夫不等式易知{P(t，ξ，dα)}是紧的.对任意的两个概率测度P1，P2∈P(Cg)，这里P(Cg)表示定义在Cg上的所有概率测度.定义:其中

由式(9)可以找到一个常数T>0使得对所有的t≥T有:

由上述不等式易总结出{P(t，1，·):t≥0}以度量标准dG收敛于P.由此可知存在唯一的概率测度ϕ(·)∈P(Cg)使得再回顾式(9)，不难发现:

2 数值模拟

在本节给出一个具体的数值例子来验证定理1理论结果的可行性.考虑如下的系统:

其中:Y＝(0，＋∞)，λ(Y)＝1.选取δ(u)＝0.55，通过计算可知定理1的条件满足，因此模型(4)是依分布渐近稳定的，对应的数值结果见图1.

3 结语

本文研究了一类包含Lévy跳的随机时滞单种群模型的依分布稳定性，通过定理1可以看出:延迟现象不利于种群依分布渐近稳定，然而白噪声和Lévy噪声对该性质并无直接影响.

图1 种群x(t)的分布轨道Fig.1 The distribution of x(t)

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[13] LIU M，BAI C.Dynamics of a stochastic one－prey two－predator model with Lévy jumps[J].Applied Mathematics and Computation，2016，284:308－321.

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[15] BARBALAT I.Systemes d′équations différentielles d′oscillations non linéaires[J].Rev Math Pures Appl，1959，4(2):267－270.

责任编辑:时 凌

Stability in Distribution of a Stochastic Delay Single－species Model with Lévy Jumps

LYU Huibin，LIU Zhijun∗
(School of Science，Hubei University for Nationalities，Enshi 445000，China)

An autonomous single－species model with discrete delays and distributed delays is discussed in the random environment of white noise and Lévy noise.Sufficient condition for the asymptotic stability in distribution of the model is obtained.Finally，a specific numerical example verifies the feasibility of the theoretical results.

white noise and Lévy noise；autonomous system；discrete delay；distributed delay；asymptotic stability in distribution

O175

A

1008－8423(2017)01－0027－04

10.13501/j.cnki.42－1569/n.2017.03.007

2017－01－10.

国家自然科学基金项目(11261017).

吕慧斌(1990－)，男，硕士生，主要从事非线性生物动力系统的研究；∗

刘志军(1974－)，男，博士，教授，主要从事非线性生物动力系统的研究.

文章编号:1008－8423(2017)01－0031－06

DOI:10.13501/j.cnki.42－1569/n.2017.03.008