导数在实际生活中的应用

李家洪　张华

应用导数解决实际生活中的问题，一般需要建立适当的数学模型，将其转化为函数的最值问题，然后运用导数知识解决. 下面我们通过例题来体会运用导数解答实际问题的一般思路和步骤.

例1 从边长为[10cm×16cm]的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为[________cm3.]

解析 设盒子容积为[ycm3]，盒子的高为[xcm]，

则[x∈（0，5）].

则[y=（10-2x）（16-2x）x=4x3-52x2+160x].

[∴y′=12x2-104x+160.]

令[y′=0]得，[x=2]，或[203]（舍去）.

当[00]，[y]为增函数；

当[2

[∴ymax=6×12×2=144cm3.]

答案 144

点评 利用导数解决生活中的应用问题的一般步骤：（1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式[y=fx]，并确定函数的定义域. （2）求函数的导数[fx]，解方程[fx=0.] （3）比较函数在区间端点和[fx=0]的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值. （4）回归实际问题作答.

例2 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）. 设该蓄水池的底面半径为[r]米，高为[h]米，体积为[V]立方米. 假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为[100]元/平方米，底面的建造成本为[160]元/平方米，该蓄水池的总建造成本为[12000π]元（[π]为圆周率）.

（1）将[V]表示成[r]的函数[Vr，]并求该函数的定义域；

（2）讨论函数[Vr]的单调性，并确定[r]和[h]为何值时该蓄水池的体积最大.

解析 （1）因为蓄水池侧面的总成本为[200πrh]元，底面的总成本为[160πr2]元.

所以蓄水池的总成本为[（200πrh+160πr2）]元.

根据题意得，[200πrh+160πr2=12000π，]

所以[h=15r（300-4r2）.]

从而[Vr=πr2h=π5（300r-4r3）].

由[r>0，][h>0]得，[0

故函数[Vr]的定义域为[（0，53）.]

（2）由（1）知，[Vr=π5（300r-4r3），0

故[V′r=π5（300-12r2），]

令[V′r=0，]解得，[r=5]，或[-5]（因[r=-5]不在定义域内，舍去）.

当[r∈（0，5）]时，[V′r>0]，

故[Vr]在[（0，5）]上为增函数；

当[r∈（5，53）]时，[V′r<0]，

故[Vr]在[（5，53）]上为减函数.

由此可知，[Vr]在[r=5]处取得最大值，此时[h=8.]

即当[r=5，h=8]时，该蓄水池的体积最大.

点评 求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况结合. 用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点就是最值点.

例3 烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境. 已知落在地面某处的烟尘浓度与该处至烟囱距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比. 现有两座烟囱相距20km，其中一座烟囱喷出的烟尘量是另一座的8倍，试求出两座烟囱连线上的一点，使该点的烟尘浓度最小.

解析 设烟囱[A]的烟尘量为1，则烟囱[B]的烟尘量为8.

并设[AC]=[x（0

于是点[C]的烟尘浓度为

[y=kx2+8k（20-x）2（0

[y=-2kx3+16k（20-x）3=k?2（9x3-60x2+1200x-8000）x3（20-x）3].

令[y=0]得，[9x3-60x2+1200x-8000=0]，

即[（3x-20）（3x2+400）=0].

解得，[x=203].

由于烟尘濃度的最小值客观上存在，并在（0，20）上取得，

[∴]在[x=203]处，浓度[y]最小，即在[AB]间距[A]处[203km]处的烟尘浓度最小.

例4 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量为[y]（升），关于行驶速度[x]（千米/小时）的函数解析式可以表示为：[y=1128000x3-380x+8][（0

解析 当速度为[x]千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了[100x]小时，设耗油量为[h（x）]升.

依题意得，[h（x）=（1128000x3-380x+8）?100x]

[=11280x2+800x-154（0

则[h（x）=x640-800x2=x3-803640x2（0

令[h（x）=0]得，[x=80.]

当[x∈（0，80）]时，[h（x）<0，h（x）]是减函数；

当[x∈（80，120）]时，[h（x）>0，h（x）]是增函数.

[∴]当[x=80]时，[h（x）]取到极小值[h（80）=11.25.]

因为[h（x）]在[（0，120]]上只有一个极值，所以它是最小值.

答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.

[练习]

某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量[y]（单位：千克）与销售价格[x]（单位：元/千克）满足关系式[y=ax-3+10（x-6）2]，其中[3

（1）求[a]的值；

（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格[x]的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

[参考答案]

（1）[a=2]

（2）当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大