导数在数列中的应用

蔡圣兵

应用导数确定数列的最大（小）项

例1 已知数列[{an}]的通项[an=75n-5n214]，[n∈N?]，求使数列[{an}]取最大值时[n]的值.

解析 构造函数[f（x）=75x-5x214（x>0）]，

则[f（x）=75-10x14].

当[00]；

当[x>7.5]时，[f（x）<0].

即函数[f（x）]在[（0，7.5）]上是增函数，在[（7.5，+∞）]上是减函数，

故当[x=7.5]时，函数取得最大值.

当[n∈N?]时，[f（n）=75n-5n214]，且[f（7）=f（8）]，

因此当[n=7， 或8]时，数列[{an}]取得最大值.

变式 已知数列[{an}]的通项[an=8n2-n3]，[n∈N?]，求数列[{an}]的最大值及[n]的值. （答案：[a5=75]）

应用导数研究数列的增减性

例2 已知函数[f（x）=x2+（a-3）x+a2-3a]，a为常数.

（1）设实数[p，q，r]满足：[p，q，r]中的某一个数恰好等于a，且另两个恰为方程[f（x）=0]的两实根，判断：①[p+q+r]，②[p2+q2+r2]，③[p3+q3+r3]是否为定值？若是定值，请求出；若不是定值，请把不是定值的表示为函数[g（a）]，并求[g（a）]的最小值.

（2）对于（1）中的[g（a）]，设[H（a）=-16[g（a）-27]]，数列[{an}]满足[an+1=H（an）， n∈N*]，且[a1∈（0，1）]，试判断[an+1]与[an]的大小，并证明之.

解析 （1）由[Δ=（a-3）2-4（a2-3a）≥0]得，

[-1≤a≤3].

不妨设[a=p]，则q，r恰为方程的两根.

由韦达定理得，

[q+r=3-a，qr=a2-3a.]

[∴p+q+r=3.] ①

[p2+q2+r2=a2+（q+r）2-2qr=a2+（3-a）2-2（a2-3a）=9. ②]

而[p3+q3+r3=p3+（q3+r3）=a3+[（q+r）2-3qr]（q+r）]

[=3a3-9a2+27]. ③

则[g（a）=3a3-9a2+27]，

求导得，[g（a）=9a2-18a=9a（a-2）.]

当[a∈[2，3]]时，[g（a）≥0，][g（a）]递增；

当[a∈[0，2）]时，[g（a）<0，][g（a）]递减；

当[a∈[-1，0）]时，[g（a）≥0，][g（a）]递增.

[∴g（a）]在[[-1，3]]上的最小值为

[min{g（-1），g（2）}=min{15，15}=15.]

（2）由（1）得，[H（a）=-16[g（a）-27]=-12（a3-3a2）.]

如果[a∈（0，1）]，

则[H（a）=3a-32a2=3a（1-a2）>0.]

[∴H（a）]在[（0，1）]上为递增函数.

[∴H（a）∈（H（0），H（1））=（0，1）.]

[∵an+1=H（an）=-12（an3-3an2），]

[∴a1∈（0，1）?a2∈（0，1）?…?an∈（0，1）.]

又[∵an+1-an=-12an3+32an2-an]

[=-12an（an-2）（an-1）<0]，

[∴an+1

变式 已知数列[an]满足[a1=2，]前[n]项和为[Sn]，[an+1=pan+n-1，n为奇数，-an-2n， n为偶数.]

（1）若数列[bn]满足[bn=a2n+a2n+1，n≥1]，试求数列[bn]前[n]项和[Tn]；

（2）若数列[cn]满足[cn=a2n]，试判断[cn]是否为等比数列，并说明理由；

（3）当[p=12]时，若数列{[dn]}满足[dn=（S2n+1-10）c2n]，问是否存在[n∈N*]，使得[dn=1]，若存在，求出所有的[n]的值；若不存在，请说明理由.

（答案：（1）[Tn=-2n2-2n].

（2）当[p=12]时，数列[cn]成等比数列；当[p≠12]时，数列[cn]不为等比数列.

（3）存在唯一的[n=3]，使得[dn=1]成立.）

应用导数解决数列求和问题

例3 求[1+2x+3x2+…+nxn-1].

解析 （1）当[x=1]时，

[Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1=1+2+3+…+n=12n（n+1）.]

（2）當[x≠1]时，

由于[（xk）=kxk-1， k=1，2，…，n]，

于是构造函数[f（x）=1+x+x2+…+xn]，

则[f（x）=1+2x+3x2+…+nxn-1].

又[1+x+x2+…+xn=1-xn+11-x]，

等式两边对[x]求导，我们可以得到，

[1+2x+3x2+…+nxn-1=1-（n+1）xn+nxn+1（1-x）2].

综上可得，当[x=1]时，[Sn=12n（n+1）]；

当[x≠1]时，[Sn=1-（n+1）xn+nxn+1（1-x）2].

变式 求[1+22x+32x2+…+n2xn-1].

（答案：[1+x-（n+1）2xn+（2n2+2n-1）xn+1-n2xn+2（1-x）3]）

应用导数证明数列不等式

例4 已知数列{[an]}的各项都是正数，且满足[a0=1，an+1=12an（4-an），][n∈N]，证明：[an

证明 构造函数[f（x）=12x（4-x），]

则[f（x）=12x（4-x）=-12（x-2）2+2≤2].

于是[an+1=12an（4-an）≤2，]但等号不能取（如果取等号，则[an+1=an=2]，与[a0=1]矛盾）.

因此[an+1<2].

又[f（x）=-x+2，]

当[x<2]时，[f（x）=-x+2>0]，

即[f（x）]在[（0，2）]上是增函数，

于是[an+1=f（x）>an=f（x-1）].

综上所述，[an

变式 已知数列{[an]}满足[2an+1=-a3n+3an，n∈N?]，且[a1∈（0，1）]，求证：[0

（答案：构造函数[f（x）=-12x3+32x]，可以求得，[f（x）=][-32（x-1）（x+1）]，于是[f（x）]在[（0，1）]上是增函数，然后再用数学归纳法证明.）