维特根斯坦数学哲学意义之辨析

樊岳红

(山西大学 哲学社会学学院，山西 太原 030006)

维特根斯坦数学哲学意义之辨析

樊岳红

(山西大学 哲学社会学学院，山西 太原 030006)

在研究维特根斯坦思想的文献中存在这样一种看法，即认为维特根斯坦本人在数学方面的造诣远不及他在逻辑学方面深厚。达米特及普特南等人甚至认为，维特根斯坦基本上不懂数学，他所表达的许多数学思想是不准确的或者是模棱两可的。如果这种看法成立的话，那么维特根斯坦关于数学以及逻辑的观点也就近乎没有价值了。正是在这种语境之下，文章旨在阐明维特根斯坦的数学哲学并非如此，恰恰相反，他的数学哲学思想正是顺应了哲学及自然科学发展的潮流。

维特根斯坦；数学哲学；数学柏拉图主义；直觉主义；形式主义

在研究维特根斯坦(以下简称维氏)思想的学者中普遍有这样一种看法，即与哲学等其他诸多领域相比，维氏对数学哲学的贡献是没有什么价值的。或者说，学界也一直不太关注维氏的数学哲学思想[1]7。例如达米特认为，“维氏的观点不是一种正确的解释，而且难以想象数学可以采用一种人类学立场”[2]。普特南等人也认为，维氏基本上不懂数学，他所表达的许多数学思想都是不准确或模糊的[3]。克莱索尔(G. Kreisel)及安德森(A.R. Anderson)在评论《论数学的基础》时认为，“在我们看来，这是一个令人惊讶且微不足道的闪光心灵的产物。”虽然这些评论从某种意义上来说也有其合理之处，维氏无法与弗雷格、希尔伯特、布劳威尔等著名数学家相提并论。但是，应该指出的是，首先他不是一位专业的数学家，而是一位对数学哲学怀有浓厚兴趣并对此提出卓越见解的哲学家；其次，对于数学逻辑主义、直觉主义和形式主义这三种不同的数学哲学流派，他都提出了许多相当有见解的评论，他是从数学哲学的视角而不是从数学的角度提出的。因此，在为维氏的数学哲学思想开宗明义之前，有必要首先来探究一下其数学哲学思想的渊源。

一 维特根斯坦数学哲学思想的渊源

一直以来，数学哲学家们孜孜以求地想为数学找一个坚实可靠的基础。在古希腊，毕达哥拉斯和柏拉图学派先后把几何学和算术看作是数学的根基。到近代，笛卡尔把解析几何作为数学的基础，其后莱布尼茨主张把微积分当作数学的基础。19世纪之后，康托等人主张把算术作为数学的基础。但是康托的这种把算术作为数学基础的观点，遭到了大部分数学家们的质疑。到了20世纪初，数学哲学史上又相继出现了一些不同形式的理论，如逻辑主义、形式主义和直觉主义等，这些理论都立足自身，试图为数学哲学这片净土找到一块坚硬的磐石。

当然，数学哲学的基础问题一直也是维氏所关注的核心领域之一，无论是其早期的哲学著作《战时笔记》及《逻辑哲学论》，中期的《哲学评论》及《哲学语法》，还是后期的《论数学的基础》和《哲学研究》等，他都尝试着探讨了许多重要的数学基础问题，并提出了一系列重要的见解。维氏探索数学哲学的原因就在于他想要了解什么是必然性，如数学命题在什么意义上必然为真。在早期的《逻辑哲学论》中，他曾认为必然性或者确定性是在自身中显示为重言式，因此，所有必然性都是逻辑必然性。

维氏在研究数学哲学的过程中，对其思想起激发作用的起初是罗素的著名悖论以及他在数学基础理论学习中所产生的理论困惑，这激发了他研究数理逻辑的兴趣。其后在1928年，数学家布劳威尔在维也纳关于数学基础的讲演，促使他在数学基础问题上逐渐从逻辑主义转向了部分赞同直觉主义的观点，同时也促使他在哲学观点上从早期思想转向了中后期思想。

同时，受弗雷格与罗素等人的影响，维氏在撰写《逻辑哲学论》时也强调数学与逻辑的密切联系，但他并没有提出，至少没有明确提出，可以把数学还原为逻辑的基本观点。他认为数学是一种逻辑方法。到了后期，维氏在这个问题上发生了很大的转变，进而对逻辑主义提出了明确的批评。

在20世纪30-40年代，维氏花了大量的时间和精力研究数学哲学问题。从1930年起，他开始在剑桥大学开设关于数学基础问题的讲座。其讲稿于1971年以“关于数学基础的讲演”为名出版。此外，他还撰写了大量关于数学哲学问题的笔记，这些笔记分别被收入《哲学评论》《哲学语法》《剑桥讲演集》《论数学的基础》等著作中。维氏在这些著作中充分表述了自己的前、中、后期数学哲学思想。[4]1-3

二 维特根斯坦的数学哲学观

在弗雷格和罗素看来，所谓数学命题就是逻辑真理；康德则认为数学命题是先天综合判断；直觉主义者布劳威尔主张，所谓的数学无非就是直觉所建构的产物。维氏正是在批判和继承这些理论的基础之上，提出了自己的数学哲学观。

在维氏所留下的2万多页手稿中，至少有三分之一的内容是讨论数学与逻辑的关系、数学与世界的关系。在早期的《战时笔记》和《逻辑哲学论》等著述中，维氏反思和批评了弗雷格和罗素的相关思想，并提出了自己的独特见解。维氏从1930年开始数学基础方面的研究，到1932年，已经写下了大量的评论，其中一些收录在《大打字稿》中；在1937-1938年间，他又写了大量关于数学本质的评论，这些部分收录在《哲学研究》中。

一般认为，他的数学哲学观有前、中和后期之分。如潘佳妮(C. Panjvani)认为，数学的强证实观点是维氏的早期思想，而在后期维氏又放弃了这一观点。从1929年至1933年是维氏中期思想时期，从1934年至1944年基本上是维氏的后期思想时期[5]。麦克道尔(J. McDowell)认为，在早期，维氏认为数学命题必须要有确定的意义；而在后期，维氏则认为应该为数学命题提供一个证明，但又不能确定遵循数学规则的正确方法[6]。不管如何构思自己的哲学思想，维氏始终遵循要发展一种整体论的数学哲学。下面将分别讨论维氏早、中和后期的数学哲学思想的具体内容。

(一)早期维氏的数学哲学思想

早期维氏支持一种数学的强证实的观点，而在其后期思想中他又放弃了。所谓的强证实观点是说，一个数学命题的意义是由证实的方法所确定的。如果一个数学命题不能被证实，或尚未被确定的话，那么它是没有意义的。严格来说，它甚至不能算作是一个命题。因此，数学命题强证实主义隐含着“数学没有猜想”的思想，无猜想的论题是强证实的结果[7]。

因此，强证实使得早期维氏的数学哲学有了意义。对于数学的性质、对象和任务，维氏在其早期著作中做过一些简略的论述。当时他着重从数学与逻辑密切联系的角度来考察这个问题，认为“数学是一种逻辑方法”，“数学以方程式来表述，逻辑命题是由重言式的世界来显示的”。数学获得其方程式的方法是置换法，方程式表示两个表达式的可置换性。他说：“数学方法的本质特征在于使用方程式，每个数学命题之所以就其本身即可被理解，就是由于这种方法。”[8]§6.2,§6.22,§6.2341

考虑维氏在《逻辑哲学论》中所注释的两组命题状态，即命题6.02-6.031和6.2-6.241，强证实这一主题仍处于萌芽阶段。在《逻辑哲学论》中，维氏主要探讨数学命题的地位问题。例如数学命题是必然真理吗?数学命题能否完全通过逻辑得到说明？如果不能，又能对它们进行何种论述？同这个问题结合在一起的还有对于语言与意义、心理学概念及知识概念的长期探索性研究[9]73。

在早期，维氏表述了一些非常接近柏拉图实在论的观点。维氏的逻辑空间或可能事态，与柏拉图的“理念世界”这一概念地位相仿。从某种意义上来说，在《逻辑哲学论》中，维氏的观点也是某种实在论的，即命题都是论述相关事实的；数学命题必须是可证明的：“数学命题是可被证明的，即我们不需要与相关正确的事实进行比较，就可以认识到数学命题本身的正确性。”[10]255

因此，如果数学命题是可以被证明的，那么这说明数学命题的真理性不是来自于经验，而是数学命题本性使然。在《逻辑哲学论》中，维氏对于数学和逻辑所持的主要观点是：(1)数学和逻辑具有不变性和永恒性，这就如柏拉图的“理念”和康德的“范畴”；(2)数学和逻辑的发现独立于我们对语言的实际使用。数学与逻辑的存在外在于时空。因此，语言在数学和逻辑中的作用是次要的。当然，后期的维氏明显拒斥这样一种理想化形式观。据此，我们可以把数学当作是先验的，或者当作初始数据来建立一个更强的先验数学。同样，在这种意义下，我们可以把数学命题当作是绝对必然的，因为它们无论在什么情况下都是真实的。

维氏明确表示，究其本质，数学和逻辑本身就是自然语言的形而上学基础。一方面，语言必须要符合于逻辑原则；另一方面，语言易于受到环境变化的影响。因此，虽然逻辑与数学都是永真命题，但它们本身不存在于永恒事物之中。

(二)中期维氏的数学哲学思想

在1929年至1933年期间，中期的维氏持强有限论观点。中期的维氏认为，没有可以无限扩展的事物集，也没有无限扩展的数学领域；量化无限的数学表达式是没有意义的，如量化哥德巴赫猜想(Goldbach's Conjecture)、费马大定理(Fermat's Last Theorem)等，都是没有意义的。正如维氏在《哲学评论》中写道：“目前来看，对数学进行的一般性描述似乎是没有意义的，如果命题不是通过任何有限的结果而成其为真的话，那么这等于说它不通过任何结果而成为真的。因而它不是一个逻辑的结果……”[11]17§126

只有在一个给定的算式中，一个数学命题才是有意义的表达式，当且仅当我们可以知道一种适用的、有效的判定过程是我们可以决定的，因为“这里的数学命题只有一种解决方法。命题必然通过其意义来表明，我们应该如何证明这个命题是真实的还是虚假的？”[11]20只有包含可判定的算术谓词的结果才是有意义的，因为它们是算法可判定的，亦即我们的知识有一种适当的判定过程。但是所谓的无限逻辑的总和或结果并不是有意义的数学命题，它们在算法上不可判定，因此，它们也不是真正有限逻辑的总数或结果。如数学命题“(∃π)4 +n= 7”就不是一个有限的逻辑结果，因为表达式“(∃x)x”不能被预设为全部数字。类似地，在量化全称域的情况时，你不能说，因为所有自然数并不是一个有限的概念。因此，维氏认为，我们可以在“所有”和“有”之间形成一种形式良好的原则或规则，这是错误的想法，这个公理或原则是与这个命题相关的，因为我们知道公理与命题的唯一相关方式是了解适合的判定过程[12]37。“你马上会看到，追问数的对象是没有意义的。尤其是不可能存在无限多的对象。‘存在无限多的沙发’=‘在空间里存在无限多的可能沙发’。但一旦对象是一个描绘要素，那么它就是不可能的。”[13]12

因此，维氏认为，对所有数的描述不是通过命题来表征的，而是由归纳来表征的。然而，如费马大定理这样一种陈述并不是一个命题或算法，而是对应于归纳的证明：“除了费马规则不起作用的数字以外，p以一种规则穷尽了全体数的序列。这一定律对实数起决定作用吗？数F要利用螺线……而且按照这种原则来选择这一螺线的圈数。但是这一原则却不属于螺线。已经有一个规则在那里，但是这与数没有直接关系。数就像是规则的一个不规则的副产品。”[11]27§189

因此，中期维氏写道：“正如布劳威尔所言，(x)·f1x=f2x的真或假也存在不可判定性的情况，这意味着(x)……是外延性的，我们可以说在所有x中，恰巧有一种属性。但事实上，讨论这种情况是不可能的，即在所有的算法中，(x)不能是外延性的。”[14]§17

维氏认为，命题的不可判定性预设了双方之间存在一个隐式的连接，这是不能用符号来进行连接的。符号之间已经存在的连接也不能由符号的转换来表征，因为符号是一种思维的产物，其本身不能被思考。如果真有这种连接的话……必须能够看出这种连接。维氏强调，算法的可判定性在于，我们可以主张任何事物可以在实践中得到检验，因为这是一个检验可能性问题。如果一个表达式是不可判定的，那么它既不是真的也不是假的。在一些实际演算中，如果一种表达式不可判定的话，那么它就不是一个有意义的数学命题，因为每种数学命题必须属于一个数学演算式。

(三)后期维氏的数学哲学思想

在后期，维氏对于数学的性质、对象和任务等问题做了更为深入的研究和更多的论述。他承认数学不是一个有严格界定的概念，但他仍然力求对数学的性质、对象和方法提出一些明确的看法。简言之，他认为数学是知识的一个分支，是各种各样证明技巧的混合体；数学这种活动不是发现，而是发明；数学的研究对象并非数字，而是数学；数学的任务是提供一些用以进行描述的框架。

后期维氏彻底否定了部分早期的观点，即他不认可在哲学研究中数学与逻辑的重要作用，同时他否定了逻辑的至高无上的地位，否认把哲学的全部任务看成逻辑分析这种观点。维氏认为：“哲学的任务不是借助于数学或者逻辑发现来解决矛盾，而是让我们弄清楚那种令我们感到困惑的各种状况，即弄清楚在矛盾解决之前的那种事态。同时，哲学也让数学保持现状，任何数学的发现也不能推进哲学。并且在我们看来，归根到底‘数理逻辑的主要问题’与其他问题一样，只不过是一个数学问题。”[15]71§124

当然，后期维氏的最终目的，是想测试在研究哲学时理想逻辑概念的界限。他批判这种把形式逻辑作为阐释明晰性的首要目标的观点，也批判把逻辑作为语言运作的基本模式，同时还批判了把逻辑作为解释哲学问题的关键工具，这些观点与早期的逻辑原子论明显是背道而驰的。在数学的对象上，后期维氏的观点与古典实在论或数学柏拉图主义者的观点是截然相反的。在维氏看来，所谓的数学并不具有实在性，而只是一种语义上的约定，这种语义约定是人们在相互交往的日常生活中建构起来的，而且也是人们通过相关训练、生活实践而习得的。因此，哲学家们应当以这种语义约定为出发点，来考察数学哲学问题，从而去理解数学家的研究成果[16]233-234。

根据古典实在论的观点，数学的对象早已先验地、观念性地自存着，而数学家们的任务就是去发现这种先验存在的公式、公理、定理等并证明它们的存在。与这种古典实在论观点相左，维氏认为，数学家们的任务不是发现早已存在的数学对象，而是去发明某些数学规则，发明某些计算技巧，甚至发明某种新的数学。维氏在《关于数学基础的演讲》《哲学研究》《哲学语法》及《论数学的基础》等著作中，都对“数学客观性”这一观点进行了反驳。他明确提出，“数学家是发明者而不是发现者。数学是各种思想创造的，概念方法形成的和证明技巧所掺和而成的一种大杂烩”。他反复强调“数学是发明，而不是发现……数学完全像任何一门学科一样，必须被发明出来。”[17]Ⅴ§16,Ⅰ§168

与早期十分强调数学和逻辑在哲学研究中的重要作用所不同，后期维氏则彻底抛弃了这种观点，他认为数学中的任何发现都不能推动哲学的进步。因为数理逻辑的主要问题是数学问题，数学问题就像其他问题一样，是与哲学问题无关的。因此，维氏才说，哲学的任务不是借助于数学或者数理逻辑的发现去解决矛盾，而是使我们看清楚那种使我们感到困惑的状况。他在评论数学的基础时也强调说，我们所需要的是描述，而不是说明。数学证明并不是一种理解活动，而是一种决定行动。

综上所述，维氏数学哲学思想的合理之处在于他坚持数学证明和发明的创造性，认为数学证明和发明是一种遵循规则的实践活动。数学证明过程需要诸多方面的参与，既要讲解证明过程，又得理解证明过程，等等。所以从通常意义上来说，数学证明本质上其实就是一种社会活动(生活形式)，它不可能是私人语言的，因为数学证明的过程需要参与者的认可和接受。

三 维特根斯坦对其他学派的批判

从1900年至1930年的这段时间内，以罗素集合悖论、哥德尔不完备性定理等为导火索，数学界陷入了重重危机之中，这次危机冲击了数学的根本之所在，使得数学家们不得不重新来严密考察数学的哲学基础。数学哲学家们对这次数学危机的讨论，使得原本并不显著的理论分歧被上升为学派之争。在这种背景之下，以罗素为代表的逻辑主义、布劳威尔为代表的直觉主义，及希尔伯特为代表的形式主义等就应运而生了。下面分别讨论维氏对各主要数学哲学理论的批判与继承。

(一)维氏对柏拉图主义的批判

哲学传统上将命题再分类为先验知识及后验知识，后验知识就是常说的经验知识。一般来说，使用感官知觉系统获得的知觉知识、透过观察实验等方法建立起来的科学知识，例如物理学、天文学、生物学、地质学……，都属于经验知识。数学和逻辑所提供的，则属于先验知识。如柏拉图认为所有知识都是先天和先验的，数学知识自然也不例外。

“数学柏拉图主义”这一称谓源于贝尔奈斯(P. I. Bernays)对数学哲学实在论的称呼。柏拉图主义者认为，数学是关于数学对象的知识体系，数学命题的作用就是描述数学对象的事实。数学所研究的对象都是独立自存的实体，并且各个对象之间有着客观的关系，而我们所需要做的就是去发现这些对象及其彼此之间的关系。数学命题对于数学对象所构成的实体做出了实际的论断，并且我们可以用语词来指称这些数学实体。数学命题的意义在于它可以根据真理条件来加以解释，数学命题根据数学对象是否精确地反映了数学世界中的事态而可判定为真或为假，即可对数学实体做出为真或为假的判定。

当然，后期的维氏则是猛烈地抨击了这种数学柏拉图主义，他拒斥任何这种数学实体或数学对象先验存在的观点。早在1915年的《战时笔记》中，他就写道：“如果有数学对象——逻辑常项——的话，那么命题‘我吃了李子’就会是一个数学命题了，而且它甚至也不是一个应用数学的命题。”[10]104在《论数学的基础》中，维氏则进一步说道：“数学命题被用来陈述数学对象，并且数学也是探究这些对象的，这难道不是数学中的炼金术吗？”[17]Ⅴ§16

传统上，哲学家习惯于认为，数学知识是先天的、必然的或分析的。我们熟悉的许多简单数学命题，无论是在它们的先验和必然性上都是独立于经验的。此外，数学知识是不可能出错的，出错的可能性是在我们自己失误或是不适用的情况下，因为数学知识是先天的、分析的。强形式的柏拉图实在论立场与逻辑实证主义之间是相关的。柏拉图主义被认为缺乏透明性，而逻辑实证主义又不能令人信服地表明数学确实是分析，尤其是像“概念”和“分析”意味着两种极端的立场。

(二)维氏对逻辑主义的批判

逻辑主义是由弗雷格、罗素和怀特海等人所提倡的观点。他们认为，每一个个别的数，既不是物质世界的对象，也不是人们心理世界的表象；它们既不在时间中存在，也不在空间中存在；这些数是确定的、永恒的；它们是客观的抽象对象。概言之，数学逻辑主义主要观点有：(1)每一个个别的数都是数学的对象，而不只是一个概念；(2)数学的对象是客观和抽象的；(3)数词具有指称功能，其指称对象是数。反过来，数又是对概念的表达，经过一系列的技术性语言和方法(包括逻辑分析和语言分析方法)，概念可以实现客观化的人工语言。在哲学中，分析哲学的基本预设即是对概念进行客观化分析。

早期的维氏在撰写《逻辑哲学论》时受弗雷格、罗素等人的影响，也强调数学与逻辑的密切联系。他承认数学是一种逻辑的方法，但他并没有提出可以把数学还原于逻辑这种基础的逻辑主义观点。到了后期，维氏在这个问题上有了一个转向，他对逻辑主义提出了明确的批评。维氏一再重申，他不认可罗素关于逻辑是数学的基本观点。他说：“有人认为，有一门被称为逻辑的科学，数学就立足于这门科学之上。但我要说明的是，数学绝不是立足于逻辑之上，逻辑公式与数学形式相一致，但这个事实绝没有表明数学立足于逻辑之上。”[18]45

到了40年代，维氏仍然坚决反对逻辑主义的立场，在这一点上，他与布劳威尔的观点相似。布劳威尔也主张，逻辑主义者只是把有限领域的相关经验事实，或以经验为依据而形成的逻辑规律毫无根据地应用到一切领域，从而导致第三次数学危机的出现。

后期维氏认为，逻辑不仅不能成为数学的基础，而且对于数学活动来说，逻辑技术是有害无益的。他在《论数学的基础》中说道：“逻辑对数学的‘灾难性入侵’……逻辑技术的害处是，它使我们忘记特别的数学技术，因此逻辑技术只是数学中的辅助性技术。”“逻辑记号吞没了结构。”“‘数理逻辑’完全曲解了数学家和哲学家的思想。”[17]Ⅴ§24，§25，§48

后期维氏批判了逻辑主义对于逻辑至高无上地位的信奉，他认为，逻辑只是我们认识世界的一种方法，并不是全部。如果逻辑主义者将逻辑的方法推广到数学的一切领域，这在维氏看来，是绝对不可能的，也是毫无意义的。数学命题是一种规范性的命题，这种命题在我们的生活中具有坚不可摧的地位，具有最高的确定性，但这种确定性归根结底是来自于给定我们的东西——生活形式。

(三)维氏对直觉主义的批判

直觉主义是布劳威尔、韦尔(H.Weyl)等人所倡导的观点。布劳威尔等人认为，逻辑并不是发现真理的绝对可靠的方法，也并不存在非经验性的真理。直觉主义者坚决反对逻辑主义的观点，他们认为，逻辑是语言的一种规则，数学却是一种超语言的活动，即数学是独立于语言的活动，因此，逻辑不可能成为数学的基础。在直觉主义者看来，我们只需要在每一次计算中都运用直觉方法，在每一个点上都能提出一条新规则。直觉主义认为，决定概念正确性的是直觉，而不是逻辑。

对于这种观点，维氏既没有一概排斥，也没有完全接受。他一方面承认数学中需要直觉，另一方面反对直觉主义者无限夸大直觉在数学中的作用。维氏拒斥直觉主义的理由在于，直觉主义过分强调了内在的思维作用，没有看出数学思想公共的、主体间表达的重要性。“不过也可以说推理准则强制着我们；说这句话的意思等同于其他的准则在人类社会中的作用……如果你另行推理的话，就会受罚；如果你得出不同的结论，结论却与(譬如说)社会发生冲突，那么也会与其他实际后果发生冲突。”[17]Ⅱ§5

在《关于数学基础的讲演》中，维氏认为：“我们也可以说，我们所需要的不是在每一步上都要有一种直觉，而是在每一步上都要做出决断。直觉主义是一派胡言，完全是胡说八道。除非它意指一种启示。”[19]82

维氏认为，直觉主义过分夸大了直觉在数学推理中的作用，而直接违背了数学的精确性和严谨性。但值得注意的是，布劳威尔的直觉主义观点对后期维氏的数学哲学观影响甚大。布劳威尔以其创新性的数学直觉主义观点动摇了早期维氏的哲学观，从而使维氏从《逻辑哲学论》中的“逻辑原子论”转向了后期《哲学研究》一书所表述的“语言游戏”的使用哲学观。

(四)维氏对形式主义的批判

形式主义是由希尔伯特和克里(H.B.Cury)等人先后加以提倡和发展的。形式主义者希尔伯特主张，我们仅从形式上来研究数学，而无须关注数学研究的具体内容。他认为数学本质上是一种由公理系统所规定的形式演绎体系，数学研究的对象只是符号本身。后来，克里在希尔伯特观点的基础上进一步提出，数学是一种纯粹的符号游戏，而没有实质性的意义，对这种游戏的唯一要求是推理过程中的无矛盾性。维氏对此提出异议，认为形式主义过分强调数学是一种关于字符和表达式的机械程序，没有看到数学的最终意义在于人类对于这些数学符号的应用，人类对于数学符号的应用才是数学推理的基础。数学符号的意义在数学系统之外，也即在我们的具体生活实践之中。

虽然形式主义支持数学定理的形式化，但它也不会拒斥经典逻辑的论述。因为在任何特定的领域内，只要数学公理成立的话，那么命题就可以用真或假来表述。但维氏认为，关于数论我们既没有证据来证明，也没有证明来反驳它。对此，形式主义是没有任何优势可言的，它只是从一种数学形式转换到另一种形式的证明而已。

因此，维氏认为这种形式主义的观点是极其错误的，形式主义主张数学的本质是对符号的操作，或者把数学实践比喻成一个玩弄语言字符的游戏。“我要说：对数学至关重要的是，它的符号是着便服加以使用的。这是在数学之外的使用，符号的意义也是如此，这种意义使得数学做起了关于符号的游戏。”[17]Ⅴ§2因为数学不是无意义的关于符号的游戏，而是有着非常重要应用的语言游戏。数学的推理也好证明也好，都必须经过数学家共同体的实践加以检验，否则就不是真正的推理和证明。

当然维氏对这种形式主义的观点也做了一定的肯定：“形式主义中有些东西是正确的，有些则是错误的。把每一种句法理解为一种游戏规则系统，这是形式主义正确的方面”[13]67，但他不赞同希尔伯特过分夸大矛盾性。形式主义者认为矛盾无处不在，最初可能是隐藏在公理之中，只是人们没有看出来而已。而维氏认为这种看法是一种出于迷信的恐惧。因为即便两种规则有矛盾，我们还可以制定新的规则。

四 维特根斯坦数学哲学的意义

针对数学的基础问题，前后期的维氏都进行了认真细致的研究工作，并写下了大量关于数学和逻辑学的笔记。通过文本分析，从维氏数学哲学的理论内容看，主要有这几个方面的影响：

1.反逻辑主义。后期维氏主张，逻辑不是数学的基础，而只是数学的一部分。“(数学)为什么要追求逻辑？逻辑仅是辅助数学的一种工具，或者说，逻辑是与数学相关的一种语言游戏，当把逻辑作为数学的基础时，就像把刷乳胶漆当作制造家具的主体方法一样，是不可取的。”[18]146因此，后期维氏不仅反对将数学划归为逻辑的一部分，而且他还要求放弃那种将数学当作一劳永逸的、绝对基础的思维方式。

2.反柏拉图主义。当然，在早期和后期维氏的观点之间，有一种转向。事实上，早期维氏主张所谓的“逻辑原子论”或“语言图像论”，认为语言是世界的图像，图像所表达的就是一种客观事实，并且命题的意义是与世界的客观存在物相对应的，这一看法极具有柏拉图主义色彩。后期维氏则反对“语言图像论”，转而支持“语言游戏说”和“意义在于使用”。因为在维氏看来，语言只不过是人们所发明的一种游戏，数学家就是这种语言游戏的发明者，而不是发现者。

3.反对实无穷，主张潜无穷。在数学基础研究中存在着“潜无穷”和“实无穷”两种不同的观点。潜无穷论者把数论或自然序列的无限性当作一种不断推进的过程，而实无穷论者则将数学或自然序列的无限性看成是早已先验存在的。维氏在中后期哲学中，明确否认实无穷，认为实无穷是没有意义的。一个命题的意义在于其可证明性和可判定性。

4.引入了实践因素的考量。数学并不是一种“标准”意义上的社会规则，而是一种“理想”意义下的社会规范。因此，一种法则只有在人类实践中才存在。维氏把必然性与社会习俗和社会行动等联系起来,指出数学公式和定理的意义在于“我们使用它的方式”[20] 161-163。

5.认为数学是一种人类学现象。在后期，维氏认为，数学毕竟是一种人类学的现象，我们可以用数学著作来进行一种人类学研究。“遵守一条规则是一种人类活动”[21]343§150。当然，这不是说像自然数的序列只是一个经验性描述，而是说，自然数位于人类计算的时间之内而不是之外。此外，维氏把数学完全看作是关于符号求解的语言游戏。根据欧内斯特的说法，后期维氏提出了一种对于数学哲学具有革命性意义的社会建构方法，这对数学哲学的贡献是更为意义深远的。

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[21]维特根斯坦.数学基础研究[M].韩林合，译.北京:商务印书馆, 2015.

(责任编辑 郭庆华)

ReconsideringtheSignificanceofWittgenstein’sPhilosophyofMathematics

FAN Yue-hong

(SchoolofPhilosophyandSociology，ShanxiUniversity,Taiyuan030006,China)

In the literature of studying Wittgenstein’s thought,there is such a view as Wittgenstein’s achievement in mathematics is far less than what he attained in logic. Most philosophers, such as Dummett and Putnam, believe that Wittgenstein didn't understand mathematics.Therefore, many mathematical ideas he expressed are inaccurate or ambiguous.If it is the case,then Wittgenstein's views on mathematics and logic are almost worthless. The purpose of this paper is to illustrate that Wittgenstein's philosophy of mathematics is the trend of the development of philosophy and natural science, but the potential impact of his mathematical philosophy is worthy of reconsideration.

Wittgenstein;philosophy of mathematics; Platonism;intuitionism;formalism

2017-07-05

教育部人文社会科学青年基金项目“后期维特根斯坦数学哲学之比较研究”(15YJC720006)

樊岳红(1981-),女，湖南岳阳人，博士，山西大学哲学社会学学院副教授，主要从事科学哲学与认知科学哲学研究。

10.13451/j.cnki.shanxi.univ(phil.soc.).2017.06.002

N031

A

1000-5935(2017)06-0007-07