利用“辅助圆”巧解一类动态平衡问题

彭立君

摘 要：三力动态平衡问题中有一类利用“辅助圆”判断力大小变化的题型，在各类资料中少有涉及；而且此类问题不用“辅助圆”判断，往往解说不清晰，文章就此类问题提出解决的思路方法。

关键词：动态平衡；辅助圆；力的动态变化

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2016）12-0046-2

三力动态平衡分析是中学物理中常见的问题，一般采用力合成后的矢量三角形来分析，常用到相似三角形或者点线间的距离关系来判断力大小的变化。其中，有一类问题可利用“辅助圆”来清晰判断力的动态变化，此法在解题中常常被忽视。下面举例来说明：

例1 如图1所示，圆弧形货架上摆着4个完全相同的光滑小球，O为圆心。则对圆弧面的压力最小的是（ ）

A.a球 B.b球

C.c球 D.d球

书后参考答案：A选项。

解析 小球对圆弧面的压力大小等于球的重力沿斜面向下的分力mgsinθ，θ为斜面与竖直面的夹角。显然a球对圆弧面的压力最小。

选项A是正确的答案，但真如解析所说：“小球对圆弧面的压力大小等于球的重力沿斜面向下的分力mgsinθ”吗？把图中小球放大后，分析受力如图2所示。其中，FA1和FA2对应挡板在A点时圆弧面和挡板对球的支持力，从图中可以看出，FA1和FA2并不是互相垂直的。显然，参考答案中的解析是错误的。有什么办法解决此类问题呢？现取挡板在图中A、B两点时分析受力，并把FA1和FA2、FB1和FB2各自独立合成后再来分析。

如图2所示，FB1和FB2对应挡板在B点时圆弧面和挡板对球的支持力。在图中∠FA2O'FA1与∠FB2O'FB1是相等的，即图中α、β角是相等的，故四点F、O'、FA1、FB1共圆。去掉图中其他线条，作出四点所在圆如图3所示。注意挡板最低能够摆放到竖直位置，即挡板对球的支持力F2不能转到水平位置。由图3可知，当挡板逆时针转动时，点O'在圆周沿FA1向FB1方向移动，其中圆弧对球的支持力不能指向四点确定的圆的直径方向，故圆弧对球的支持力不断增大，挡板对球的支持力不断减小。

练习：如图4所示，置于地面的矩形框架中用两细绳拴住质量为m的小球，绳B水平。设绳A、B对球的拉力大小分别为F1、F2，它们的合力大小为F。现将框架在竖直平面内绕左下端缓慢旋转90 °，在此过程中（ ）

A.F1先增大后减小 B.F2先增大后减小

C.F先增大后减小 D.F先减小后增大

提示：转动过程中两线夹角不变，形成类似例题1中的四點共圆情形。

例2 如图5所示，直杆BC的一端用铰链固定于竖直墙壁，另一端固定一个小滑轮C，细绳下端挂一重物，细绳的AC段水平。不计直杆、滑轮及细绳的质量，忽略所有摩擦。若将细绳的端点A稍向下移至A′点，使之重新平衡，则此时滑轮C的位置（ ）

A.在AA′之间 B.与A′点等高

C.在A′点之下 D.在A点之上

题后参考答案：D选项。

解析 由于杆一直平衡，两根细绳对杆的拉力的合力沿杆的方向向下；又由于同一根轻质绳子中的张力处处相等，而且两根细绳的拉力大小相等且等于物体的重力G，根据平行四边形定则，合力一定在角平分线上。若将细绳的端点A稍向下移至A′点，若杆不动，则∠A′CB<∠BCG，则不能平衡。若要杆再次平衡，两绳的合力一定还要在角平分线上，所以BC杆应向上转动一定的角度，此时C在A点之上。

显然，参考答案中的解析不能做到清晰明了。如果引进“辅助圆”，则解答会变得一目了然。C点总在以B为圆心、BC为半径的圆上，如图6所示。其中，BC线总是∠ACG的角平分线。根据这个特点，我们可以作出各点位置关系如图7所示，P和P'关于BC所在直径对称，直观可见，C的位置将在A点之上。

练习：如图8所示，绝缘细线下面悬挂一质量为m、长为l的导线，导线置于方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中。当在导线中通以垂直纸面向里的恒定电流I时，绝缘细线偏离竖直方向θ角而静止。现将磁场方向由图示方向沿逆时针方向缓慢转动，转动时保持磁感应强度的大小不变，则在磁场旋转90 °的过程中，下列说法正确的是（ ）

A.导线受到的安培力F逐渐变大

B.绝缘细线的拉力FT逐渐变大

C.绝缘细线与竖直方向的夹角θ先增大后减小

D.导线受到的安培力F与绝缘细线的拉力FT的合力大小不变，方向随磁场的方向而改变

（提示：安培力大小不变，安培力矢量端点构成圆。）

由此可见，利用作“辅助圆”的方法来求解此类动态平衡问题，解答将变得清晰明了，一目了然，不失为一种解决此类问题的简捷方法。“辅助圆”分析是解决动态平衡问题的方法的一个有效补充。

（栏目编辑 陈 洁）