教会学生挖掘模型的重要推论化解问题的难点

刘白生

摘 要：轻杆（绳）模型经常在高考题中出现，学生在解题时往往忽视了这个模型的受力特点是合外力等于0。应用好这一推论能化解问题的难点，可以顺利地解决此类问题。

关键词：轻杆（绳）模型；载体；合外力

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2016）12-0041-3

笔者对近几年来高考物理题深入分析后发现，高考题大多数是以知识和理想模型为载体，以能力立意；重点对学生的理解能力、推理能力、分析综合能力、应用数学处理物理问题的能力及实验能力进行考核。而在平时的教学和学习中，大多数教师和学生往往非常重视知识的复习，而忽略了一些基本模型的建立和理解，导致在高考时遇到以理想模型为载体的问题时束手无策。

2011年和2012年江苏高考题各有一题均以轻杆（绳）模型为载体，而在当年的高考中学生均认为这两题是难题，得分率比较低。本文以此理想模型为例说明教会学生挖掘模型的重要推论是化解问题难点的关键。

所谓轻杆（绳）模型是指它的质量可以忽略不计。在受力分析时它的一个重要特点是轻杆模型受力方向不一定沿杆方向，而轻绳模型受力方向一定沿着绳的方向。根据牛顿第二定律，轻杆（绳）模型所受的合外力等于零，因为如果合外力不等于零，其加速度为无穷大。根据这一特点就能很容易地求解这两道题了。

1 轻绳模型

例1 （2011年江苏高考题）如图1所示，倾角为α的等腰三角形斜面固定在水平面上，一足够长的轻质绸带跨过斜面的顶端铺放在斜面的两侧，绸带与斜面间无摩擦。现将质量分别为M、m（M>m）的小物块同时轻放在斜面两侧的绸带上。两物块与绸带间的动摩擦因数相等，且最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等。在α角取不同值的情况下，下列说法正确的有（ ）

A.两物块所受摩擦力的大小总是相等

B.两物块不可能同时相对绸带静止

C.M不可能相对绸带发生滑动

D.m不可能相对斜面向上滑动

分析 绸带是轻质的，相当于轻绳模型，它受的合力等于零。

解答 绸带与斜面间无摩擦，因此绸带受到的两个物块给它的摩擦力始终一样大，故A选项对；当倾角较小时，两者都相对绸带静止，一起勻加速运动，摩擦力均为静摩擦力；当倾角取合适的值时，m正好相对绸带滑动，显然这个滑动摩擦力小于M的最大静摩擦力；当倾角更大时，M带着绸带加速下滑，m也加速下滑，这时

sinα>μcosα，

则Mgsinα>mgsinα>μmgcosα。

因此，M不会相对绸带滑动。

故C选项对，B、D选项均错。

答案：A、C选项。

2 轻杆模型

例2 （2012年江苏高考题）某缓冲装置的理想模型如图2所示。劲度系数足够大的轻质弹簧与轻杆相连；轻杆可在固定的槽内移动，与槽间的滑动摩擦力恒为f。轻杆向右移动不超过l时，装置可安全工作。一质量为m的小车若以速度v0撞击弹簧，将导致轻杆向右移动。轻杆与槽间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且不计小车与地面的摩擦。

1）若弹簧的劲度系数为k，求轻杆开始移动时，弹簧的压缩量x；

2）求为使装置安全工作，允许该小车撞击的最大速度vm；

3）讨论在装置安全工作时，该小车弹回速度v'和撞击速度v的关系。

分析 本题中有一个轻杆，它受的合外力等于零。当它不滑动时，弹簧给它的弹力等于轻杆与槽间的静摩擦力；当它滑动时，弹簧给它的弹力等于轻杆与槽间的滑动摩擦力，为一定值。因此，当小车以不同的速度撞击致使轻杆滑动时，弹簧的压缩量都是相同的，即小车对弹簧所做的功相同，从而储存的弹性势能相同。

解答 1）轻杆开始移动时，弹簧的弹力

2）设轻杆移动前小车对弹簧所做的功为W，则小车从撞击到停止的过程中，动能定理

小车以v0撞击弹簧时

3）设轻杆恰好移动时，小车撞击速度为V1，

3 应用推广

例3 倾角为37 °的光滑斜面上固定一个槽，劲度系数k=40 N/m、原长l0=0.6 m的轻弹簧下端与轻杆相连。开始时杆在槽外的长度l=0.3 m，且杆可在槽内移动；杆与槽间的滑动摩擦力大小Ff=12 N，杆与槽之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。质量m=2 kg的小车从距弹簧上端L=0.6 m处由静止释放后沿斜面向下运动。已知弹簧的弹性势能表达式Ep=kx2，式中x为弹簧的形变量。g取10 m/s2，sin37 °=0.6。关于小车和杆的运动情况，下列说法正确的是（ ）

A.小车先做匀加速运动，后做加速度逐渐减小的变加速运动

B.小车先做匀加速运动，然后做加速度逐渐减小的变加速运动，最后做匀速直线运动

C.杆刚要滑动时小车已通过的位移为1.1 m

D.杆从开始运动到完全进入槽内所用时间为0.1 s

分析 本题是轻杆模型，它受的合外力等于零。当它不滑动时，弹簧给它的弹力等于轻杆与槽间的静摩擦力；当它滑动时，弹簧给它的弹力等于轻杆与槽间的滑动摩擦力，为一定值。

解答 小车受到的重力沿斜面向下的分力

mgsin37 °=12 N。

先做匀加速运动，压到弹簧后其弹力是变力，所以再做加速度逐渐减小的变加速运动。当弹力等于杆与槽间的滑动摩擦力大小Ff=12 N时不再变化，此时受的合力等于零。因此，最后做匀速直线运动，故A选项错，B选项对；当弹力等于12 N时弹簧压缩了0.3 m，小车已通过的位移为0.9 m，C选项错，由能量守恒定律：

解得：v=3 m/s，t=l/v=0.1 s，D选项对。

答案：B、D选项。

由以上例题可以看出，轻杆（绳）模型江苏高考2011年考了，2012年又考，但学生仍然感觉难，究其原因是对这一模型理解不透，不能抓住其合力等于零这一特点。类似这样的模型还有许多，只有在教学过程中教师重视它的教学价值，归纳出它的重要特点并应用之，学生在高考中就能比较顺利地解决类似的问题了，大家不妨试之。

参考文献：

[1]曹力峰.力学中常见的三种模型——对“轻杆、轻绳、轻弹簧”理解与应用[J].课程教育研究，2013（26）：160.

[2]吴强.轻绳、轻弹簧、轻杆模型中能量转化的异同[J].物理教学，2010（3）：45—47.

[3]程少华.轻质绳、轻杆、轻弹簧模型问题剖析[J].物理教学探讨，2011，29（6）：29—30.

（栏目编辑 陈 洁）