化归思想在数学解题中的应用研究

施红燕

摘 要：化归思想在数学解题中起着非常重要的作用，其本质是用发展的眼光看问题，改变问题的形式，化繁为简、化曲为直、化抽象为具体。利用化归思想能做到：新旧结合，简化过程；多元转化，化难为易；拼凑条件，直接得出结果。

关键词：中学数学；化归思想；化繁为简；化曲为直

中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2017）08-0055-01

数学思想是对数学知识的深刻理解，化归思想就是其中之一。化归思想是基本的思想构建，它是在解决数学问题的时候采用某种方法将复杂问题转化为简单问题，将未知的问题转化为已知的问题。化归思想的本质是用发展的眼光看问题，改变问题的形式，化繁为简、化曲为直、化抽象为具体。

一、新旧结合，简化过程

当学生面对新的数学问题时，往往会感觉到束手无策。那么，如何帮助学生在面对新题型的时候更好地解决问题呢？新旧结合解决问题是一个不错的方法。在学习了如何解方程后，习题中就有许多新的题型出现。例如，已知条件：x2 + y2 + 2x – 4y +5 =0，求解x，y。在平时的教学中，根本没有涉及这种含有两个未知量的方程，学生们面对这样的习题都十分迷茫。因此，在解题之前，教师可以先为学生们出两道其他习题，一个为：x2 + 2x+ 1 = 0，求解x。另外一个为：y2-4y + 4 = 0，求解y。对于这两道题，学生们很快就得出了答案，一个为（x + 1）2 = 0 ，另一个则为（y- 2）2= 0，求解得x = 1和 x =-1，另外一个解为：y = 2。紧接着教师再回到先前那道题目上，问学生这道题x2 + y2 + 2x - 4y +5 =0，结果学生们还是有点不知所措。这时，教师可以提醒学生们：“其实你们刚刚已将把这道题的答案解出来了。”学生们都很吃惊，然后教師在黑板上写道：（x + 1）2 + （y-2）2= 0，学生们这才恍然大悟，原来这就是自己所学知识的变形。这样，学生们很快就得出了答案。俗话说得好，万变不离其宗。再新的题型也是从书本上的知识演变过来的，只要将旧的知识学习扎实，再新的题型也就变得容易了。因此，在教学过程中，教师要着重培养学生新旧知识相结合，利用旧知识解决新问题的能力。

二、多元转化，化难为易

多元转化是分析数学习题中相关关系的一把利刃，快刀斩乱麻，能够帮助学生理清解题思路，化难为易。只要学生将多元转化的化归思想掌握透彻，就不至于在解题过程中没有任何思路而放弃。因此，在数学教学过程中，教师要着力培养学生的这种多元转换的思想。例如，有些题在求解的时候可以将其从高次转化为低次来简化求解过程。已知的条件为x2 + x = 1，求解x3 + 2x2–1的值是多少？从题目中我们可以知道x2 +x =1，那么从中就可以知道x2 =1- x，这样的话，就可以对x3 + 2x2- 1进行转化，可以将其转化为x3 + 2x2 -1 = x（1-x） + 2x2-1，进而可以将x（1-x） +2x2-1转化为：x -x2+ 2x2- 1 = x+ x2 -1 = 0。通过利用多元转化，将高次转化为低次，学生们不仅提高了做题的速度，减少了计算的工作量，节约了时间，还懂得了化归的思想，一举两得。所谓“师傅领进门，修行在个人”，教师将知识之间进行紧密的连通，通过有目的的转化，帮助学生更好地理解归纳，同时给他们渗透这种思想。这样，在学生们以后解决相关问题的时候，就可以得心应手地运用到化归的思想。

三、拼凑条件，直接得出结果

当面对复杂的习题，运用题目中给定的已知条件进行解答时，会发现单单通过已知条件进行分析，并不能快速准确地找到答案。那么，利用拼凑条件的方法，却可以直接找出答案。例如，教师出示习题xy= 1，x2 + y2 = 4 ，求 x+y，学生拿出纸笔应用x= 1/y，然后带入x2 + y2 = 4中，进行求解。在学生们求解的过程中，教师对学生们说，其实，我们可以不用进行笔算，口算就可以得出答案的。学生们听后，脸上露出了惊讶的表情。有一个学生问，我们利用了很长时间得出的答案，老师如何进行口算就可以解出试题呢？趁着学生们有这份好奇心，教师在黑板上写出了（x+y）2 -2xy = 4，学生们很快发现，是教师将x2 + y2 = 4、xy= 1这两个已知条件进行拼凑，得到了与未知条件相似的形式，由此就可以很快地找到答案。在解题过程中，学生们往往一看到习题就开始进行笔算，错过了细细“品味”的时间。而有的题目进行笔算，花费时间还可以计算出来，但是有的则不然，这在考试中，就会白白浪费时间。因此，在教学过程中，有效渗透化归思想，利用拼凑条件，可以直接得出答案，不但答案准确，而且节约时间。

四、结束语

在众多的数学思想中，化归思想占有的位置非同一般。应用化归思想，能够将新旧知识进行结合、多元转化、拼凑条件，是解决数学问题的一把利刃。当面对一个问题时，要学会首先思考一下，提出一个等价命题，把原问题转化、归结为一个更容易的命题，化难为易，达到预期的效果。因此，在数学教学过程中，渗透化归思想对解题具有十分重要的意义。

参考文献：

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