直线与圆锥曲线范围问题

王云鹏

在研究数学问题时，我们经常会遇到确定某个量范围的问题，它曾出现在函数、方程、不等式、数列、三角、解析几何及立体几何等主干知识中的各个角落，它对数学思维的严谨性和灵活性提出了较高要求。而在解析几何中，遇见求范围或解题过程中需要确定范围的问题更是比比皆是，这类问题是对代数与几何知识相互转化能力的综合检查，直线与圆锥曲线的相关范围问题则是这一类问题的难点。本文重点研究论述自己在xxx老师的指导下、在平时学习过程中摸索积累的、用于解决直线与圆锥曲线范围问题的解题方法，希望能得到大家的指点与帮助。

例：已知抛物线的弦与直线有公共点，且中点到x轴的距离为1.求弦长度的取值范围.

分析：弦的长度必然要涉及到直线与曲线的关系，故“设直线方程并与抛物线方程联立”，根据判别式、弦长公式，分别用等式、不等式将与k、b联系在一起，从而破解问题。

解：设直线方程为，，.

直线方程与抛物线方程联立，得，消y得，则（1），（2），（3）.

则中点横坐标为，其纵坐标为，

依题得，即（4）.

由弦长公式及（2）、（3），得（Ⅰ），

又（4），则（Ⅱ）.

由（1）、（4），得；

因为弦与直线有公共点，所以，

即，由（2）、（3），得（*），

又（4），则，即；

所以.

令，则（Ⅱ）式为，，

所以，，所以.

题后反思：本类习题解法的关键步骤是

1.建立二元目标函数（见解法中的（Ⅰ）式），找到二元关系式（见解法中的（4）式），进而消元，得到一元目标函数（见解法中的（Ⅱ）式）；

2.通过及题中条件，建立不等式方程组（见解法中的（1）、（*）式和（4）式），依据关系式消元，得一元不等式组，确定一元目标函数定义域；

3.求函数值域或最值，得到目标范围。

此类问题只要抓住三个关键点，即函数、方程、不等式，问题就得以突破。

上述例题所代表的问题，可以通过求函数的值域来达到求解之目的。与直线和圆锥曲线相交有关，所以在解题过程中，要用到判别式和韦达定理，要利用多元方程进行减元，来得到一元函数或一元不等式。问题中确定函数定义域可以转化为“求解方程不等式混合组”的问题。我们可以通过解决下面的配套练习，进一步体会这些规律。

【配套练习】

1.若直線l与椭圆C交于不同的两点，且线段恰被直线平分，设弦的垂直平分线的方程为，试求m的取值范围.（答案在本期）

解：依题，直线l与坐标轴不平行，设直线l的方程为，代入椭圆方程得：，由于l与C交于不同的两点，所以，，即.（*）

又线段恰被直线平分，所以，.

所以，.代入（*）可解得：.

设弦MN的中点.在中，令，

可解得：.

将点代入，可得，即.

所以，.

题后反思：：依据题意，确定m、k、b三个量的等量或不等量关系式：

，，；通过以上三个式子即可求解。

2.直线与椭圆总有公共点，求m的范围。

解法：由，得，

依题有对一切总成立，即对一切恒成立，而，

则等价于对一切恒成立，而最大值是1，则，依题有且，所以或

题后反思：本题解法有代数解法和几何解法，代数解法抓住关键点“”，几何解法抓住关键点“直线经过定点”.

3.建立函数式与不等式，通过求函数值域确定S的范围。

通过以上研究论述，我们明确了直线与圆锥曲线范围问题的求解方法。一方面该类问题可以通过建立目标函数或目标不等式，运用函数、方程、不等式等思想方法来解决，另一方面必要时也可通过数形结合法获得解决。以上有不当之处敬请批评指正。