借助几何直观建构数学知识的研究

（福建省南安市丰州中心小学，福建 南安 362300）

摘 要：几何直观教学法是一种化抽象为形象，使学生能够更好地建立感性经验，并在亲历探究中获取知识的一种重要方法。空间与图形是数学中的重要内容，对发展学生的空间想象能力有着重要作用，教师有效运用几何直观教学法，能够提升学生的综合能力。文章以空间与图形教学为研究载体，深入阐述借助几何直观教学法辅助数学教学的策略及具体做法。

关键词：几何直观；感性经验；概念建构；规律探究；推理能力

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2017）07-0066-02

几何直观教学法可以让复杂的问题变得简单、抽象的问题变得具体，使以形象思维为主的学生能找到感性认知的载体，并借助直观更好地亲历探究，最终发现知识、理解知识和运用知识。那么，教师如何睿智地借助几何直观教学法，有效激活数学课堂，帮助学生建构空间与图形知识呢？

一、借助几何直观，帮助学生形成更多感性经验

在数学教材中，长方体的表面积、正方体的表面积、圆柱的表面积是重要内容，也是学生理解立体图形的基础内容。比如，学习长方体的表面积公式时，学生需要对长方体的6个面有一定的理解，知道这6个面可以分成3组，以及每个面对应的长方体的长、宽、高。想让学生记住长方体表面积公式并不难，利用公式直接计算表面积也不难，难的是变形题。如果学生不会运用一定的解题策略，就无法找到变形题的正确解决方法。例如，已知两个完全一样的长方体，它的长、宽、高分别为5米、4米、3米，现在要将这两个长方体的最小面拼在一起，形成一个新的长方体。那么，新长方体的表面积是多少平方米？解这道题时，如果让学生单纯依靠想象来解答，学生的思维会比较混乱，难以找到突破口。这时，教师可以引导学生画出这两个长方体，然后将它们最小的两个面“拼在一起”。学生在拼画的过程中，必须明白这两个长方体最小的面是长4米、宽3米的面，因为另外两组数字的乘积都大于12。因此，学生按要求拼画新长方体时，可将相关数据标上去，这样可以一目了然，从而寻求多种解题方法。比如，先分别求出新拼长方体的长、宽、高，然后利用长方体表面积公式求出表面积；还可以求出两个长方体的表面积之和，然后减去组合在一起的最小的两个面（被隐藏了）的面积，就是新长方体的表面积；还可以观察新长方体是由原来长方体的多少个面组成，分别求出这些面的面积，再计算总面积即可，因为直观图容易让学生发现3乘4的面原来有4个，拼后减掉了2个，其他面不变。可见，直观图形为學生的抽象理解提供了感性的载体，学生可以借助直观图形理解题意，从而找到解题方法，并丰富自己的空间想象能力。

二、借助几何直观，帮助学生理性建构空间概念

概念是学生理解知识的基础内容，影响着学生整体知识的建构。由于空间与图形的概念本身比较抽象，所以必须借助一定的载体才能为学生理解空间与图形的相关概念找到认知的突破口，使学生在头脑里建立起相关的表象，帮助学生更好地对空间与图形知识进行理解。比如体积概念，关于什么是体积，教材的表述是“物体所占空间的大小”。对学生来说，想真正理解这句话的含义是有一定难度的。“空间”本身就是一个抽象的名词，教师必须为学生寻找一个感性载体，才能有助于学生理解。为了激活学生的认知体验，教师设计一个实验：教师在讲台桌上放一杯水，然后，将一块石头放进杯中，学生发现水位上升了。这时，教师设问：为什么水位会上升？因为石头占了水的空间。这一直观的实验，能让学生更好地理解“物体所占空间”的含义。接着，教师设计冲突性更强的实验：桌上放着一个装满水的杯子，当教师将一块石头投进杯子后，杯中的水溢出来了。这虽然是生活中的常见现象，但学生并不知道它蕴含着什么样的理论知识。通过这个实验现象的演示和教师的讲解，学生就会明白这一实验是“物体所占空间”的直接表现，因为一个杯子只能容纳一满杯水，将石头放进去后，石头就占据了水的空间。可见，直观教学手段为学生的理解提供了感性载体，这比教师用华丽的语言进行阐述效果更理想，学生会在感性认识中对概念形成更为深刻的理解，从而有效建构空间与图形知识。

三、借助几何直观，帮助学生深度探究知识规律

学习空间与图形时，很多知识是存在一定的规律的，而这些规律能有效帮助学生理解知识、找到解决问题的方法。在教学过程中，教师要抓住空间与图形相关知识的特点，积极引入直观教学手段，使几何中的数学规律能被学生所发现，从而为学生理解知识找到突破口，帮助学生最终找到数学规律、发现数学知识。例如，三角形的内角和是180度，但如果教师直接告诉学生这一结论，对学生来说这只是一个数字，无法找到180度与三角形的必然联系，学生的理解就会肤浅。对此，教师可以设计探究活动：先让学生自主剪出或画出几个不同形状的三角形，然后用量角器量出每个角的度数，并将每个三角形的三个角的度数加起来。学生会在探究过程中发现：无论什么样的三角形，其内角和总是180度。当学生通过这种操作活动建构起三角形内角和的概念后，他们在学习四边形的内角和时，就会根据学习经验进行自主探究，并发现四边形的内角和是360度。在几何课程中，关于角的内容非常多，知识非常系统，所以学生学习能力的培养是几何教学的隐性目标。因此，教师要巧妙借助几何直观教学法帮助学生发现蕴含于知识中的数学规律，从而帮助学生发展数学思维、提升自主学习能力。

四、借助几何直观，帮助学生发展数学推理能力

推理能力是学生学习数学的重要能力之一，影响着学生数学知识结构的建构。纵观空间与图形知识，其中不少定理、公式、概念等都需要学生进行一定的推理，才能更好地理解内涵。几何直观教学法作为形象的教学手段，能将复杂的数学问题演变成形象的推理情境，使学生在情境中亲历数学探究过程，并在综合活动中有效推导出公式或定理，从而促进学生数学思维能力的发展。例如，学习“平行四边形的面积公式”时，北师大版教材中设计了不少生活情境和操作情境，其目的在于让学生通过操作活动自主推导出平行四边形的面积公式。平行四边形的面积公式很简单：底乘以高，如果教师在课堂上简单引导，然后让学生将公式背下来，并不是一件困难的事。但如果以这样的方式进行教学，蕴含于面积公式推导过程中的数学思维将无法在课堂上呈现，学生的思维会停留在比较肤浅的层面，无法知晓公式的来龙去脉，这既不利于学生思维的发展，也不利于以后学习三角形、梯形的面积公式。本课的教学重点是让学生在直观操作中发现平行四边形与长方形之间的关系，进而推导出平行四边形的面积公式。首先，学生会在情境中发现长方形和平行四边形的面积是相等的（长方形的长和平行四边形的底相等，长方形的宽和平行四边形的高相等）。接着，教师让学生利用课前准备好的材料，通过画一画、剪一剪、拼一拼、贴一贴等方法研究将平行四边形“转化”成长方形。最后，学生通过比较平行四边形与长方形之间的关系，推导出平行四边形的面积公式。操作过程是学生推理实践的重要过程，学生会围绕平行四边形面积公式的推导展开数学活动。在推导过程中，学生会遇到困难，但更会因解决困难而对推导过程产生更为深刻的印象，学生的推理能力会得到更好的发展。学生推导出平行四边形面积公式之后，还要学习三角形、梯形的面积公式，有了推导平行四边形面积公式的经验，学生在推导三角形、梯形的面积公式时，就会有比较多的感性经验，会在知识的迁移中顺利推导出其公式。可见，学生运用推理方法获得的知识会在其大脑中留下深刻印象，而几何直观则为学生的推理提供了感性材料的支撑，可以让推理变得更加灵动，使得学生对空间与图形知识的理解更加深入。

五、结束语

总之，空间与图形是数学教材中的重要内容，是发展学生空间想象能力的重要载体。想让学生更好地理解抽象的空间与图形知识，教师需把握空间与图形的特点，积极为抽象的知识找到感性的认知载体，使学生经历从形象到抽象、从抽象再到形象等一系列思维过程。几何直观教学法是辅助数学教学、提高数学教学效率的重要策略之一，教师要睿智运用，帮助学生更好地建构知识、发展能力。

作者简介：黄培阳（1982-），女，福建南安人，小学一级教师，从事数学教学与研究。

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