一个动量守恒二级结论的妙用

■山西省介休市第一中学 石有山

一个动量守恒二级结论的妙用

■山西省介休市第一中学 石有山

如图1所示,A、B两个小球的质量分别为m1、m2,小球B静止在光滑的水平面上,小球A以初速度v0与小球B发生正碰,碰后合二为一,求系统损失的机械能。

图1

解析：由系统动量守恒得m1v0=(m1+ m2)v,系统损失的机械能

结论：一动一静模型发生完全非弹性碰撞,即合二为一的碰撞时,损失的机械能为原来运动物体的动能乘以另一个物体的质量与两物体质量之和的比值。

拓展一：子弹射击木块模型中,当合二为一时,上述系统损失的机械能表达式仍然成立,且损失的机械能等于系统的发热量。

证明：设质量为m的子弹以初速度v0射向静止在光滑水平面上的质量为M的木块,并留在木块中不再射出,子弹射入木块的深度为d,如图2所示。

图2

从动量的角度看,在子弹射入木块的过程中系统的动量守恒,则m v0=(M+m)v。

从能量的角度看,在子弹射入木块的过程中,系统损失的动能全部转化为系统的内能。设木块与子弹间的平均阻力大小为f,子弹、木块的位移大小分别为s1、s2,则s1-s2=d,对子弹应用动能定理得对木块应用动能定理得故f d=f(s1-s2)=式中f d为摩擦阻力与相对位移的乘积,等于系统的发热量。

如图3所示,质量m1=0.3k g的小车静止在光滑的水平面上,小车的长度L=1 5 m,现有质量m2=0.2k g的物块(可视为质点),以水平向右的速度v0=2m/s从左端滑上小车,最后在车面上某处与小车保持相对静止。物块与车面间的动摩擦因数μ=0.5,取g= 1 0m/s2。求:

图3

(1)物块在车面上滑行的时间t。

(2)要使物块不从小车右端滑出,物块滑上小车左端的速度v0'不超过多少?

解析：(1)设物块与小车相对静止时的共同速度为v,以水平向右为正方向,由动量守恒定律得m2v0=(m1+m2)v。设物块与车面间的滑动摩擦力为f,则f=μm2g,对物块应用动量定理得-f t=m2v-m2v0。联立以上各式解得

(2)要使物块恰好不从小车右端滑出,需物块到车面右端时与小车有共同的速度v',则m2v0'=(m1+m2)v',由功能关系得解得

点评:只要是一动一静模型,系统动量守恒,发生合二为一的过程,不管是否碰撞,动能的损失一定为原来运动物体的动能乘以另一个物体的质量与两物体质量之和的比值。同学们在求解此模型问题时,若直接应用上述结论,则可大大加快解题速度。

拓展二：当系统机械能守恒时,合二为一的能量转化为重力势能。当系统中没有机械能和其他形式能的相互转化时,系统的机械能守恒。系统机械能守恒的常用表达式为ΔEp=-ΔEk,即系统势能的增加量等于系统动能的减少量。

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