基于APOS理论的二次根式概念教学

林勇兵

一、关于APOS理论概述

近期教育界提出“以学为中心”的教育思想，其主要倡导我们的课堂要从老师教为主，变成学生学为主。任何一个数学教育中的理论或模型都应致力于对“学生是如何学习数学的”及“什么样的教学计划可以帮助这种学习”的理解，而不仅仅是陈述一些事实。在数学教学过程中，学生对概念的掌握尤为重要，这直接影响到学生对本章知识的学习。概念的掌握需要学生通过亲身体验、感受概念的直观背景和概念之间的关系，通过对操作活动的理解概括，学生如果是这样获得概念，那么教学中就可事半功倍。

基于对概念教学的考虑，1991年美国数学家、教育家杜宾斯基等人提出一种建构主义学说——APOS理论。它将数学概念的获得分为“活动——过程——对象——图式”四个阶段。他们认为数学概念的获得有两种主要方式：概念形成和概念同化。概念形成要求学生由具体事实概括出新概念，利用学生在实际经验中大量的生动具体事例，以归纳的方式概括出一类事物的本质属性，初步形成一个新概念。而概念同化则直接向学生展示定义，即利用原有认知结构中有关知识理解新概念，比较强调数学知识间的逻辑结构，这是一种接受学习，是中学生学习数学概念的主要方式。APOS理论反映了学生学习数学概念的思维过程，正所谓“知己知彼，百战不殆”，知道学生是如何学习概念，我们就可以把课堂按学生的学习过程进行设计。在课堂上，学生利用已有的知识经验，通过我们安排的学习环节，理解数学概念。这就是我们现阶段提倡的“以生为主体”“以学为中心”，根据学生的学习过程来设计课堂。

二、APOS理论的应用

人教版数学课本中二次根式是在平方根与算术平方根的基础上学习的，二次根式的掌握影响下一章勾股定理的学习。二次根式概念属于概念同化，因为它是在学生已有的算术平方根的概念基础上进行学习的。因此在学习过程中，算术平方根与二次方根的联系与区别是本章学生掌握的重点和难点。如何突破这个重点和难点，在实际教学中，我根据APOS理论的四个阶段，把二次根式概念的教学也分成了四个阶段，以此来帮助学生理解概念。

第一阶段（Action）：作为“活动”的二次根式运算。在这个阶段中，意味着求a的算术平方根，而a只能是非负数。实际教学中可先让学生回顾平方根与算术平方根的概念以及它们的计算方法，再让学生完成以下相应练习。

计算：（1）=_______；（2）=_______；（3）=________；（4）=_________；（5）=________；（6）=________。

最后给出二次根式的定义：“形如（a≥0）的式子叫作二次根式”。这样使学生明确二次根式的本质就是算术平方根。在此基础上，学生只要已经掌握算术平方根的运算，就可以进行二次根式的计算，且容易理解为什么被开方数与根式结果都是非负数。但对于二次根式与算术平方根的区别，还需要进一步的引导。

第二阶段（Process）：作为“程序”的二次根式运算。经过多次重复的“活动”以及基于活动的反思，学习者逐渐把“活动”内化为一个“程序”。在这一阶段学习者不必具体实施就可以“想象”出“活动”结果，通过对“活动”进行思考，经历思维的内化、压缩过程，在头脑中进行描述和反思，抽象出概念所特有的性质，使学生对数学概念也有一个新的认识，从而改变对数学学科的看法。教学中，我们可以用一些二次根式的是否有意义及其结果的非负性等练习，让学生体会到它是代数式，达到让学生熟悉掌握概念。

判断题（对的打“√”，错的打“×”）。

（1）2=-（ ）；

（2）=-（ ）；

（3）-2=-（ ）；

（4）22=2×=1（ ）。

在第一阶段的活动中，学生已经明确了二次根式的双重非负性。因此在解上题时，学生抽象出二次根式的性质，不再局限于计算。

第三阶段（Object）：作为“对象”的二次根式。符号表示a的算术平方根也可看作是一个式子。通过前两个阶段的学习，学生开始接受二次根式这一概念，并把它看作是一个式子，只是在计算时使用算术平方根的定义。在这一阶段，我们可将二次根式的被开方数换成字母。

（1）当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？

（2）使式子有意义的未知数x有（ ）个。

A.0 B.1 C.2 D.无数

（3）若是一个正整数，则正整数m的最小值是________。

字母更具有代表性和一般性，将被开方数转换为与字母相关的代数式，学生开始体会二次根式作为式的存在，并且在前期计算的基础上，根据被开方数的意义，学生容易理解相关字母的取值，從而解决二次根式定义的概念教学。

第四阶段（Scheme）：作为“图式结构”的二次根式，它与整式、分式相同，都是用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，这些式子统称为代数式。既然是代数式，它就会有自身的特点，利用这种特点就可以解决相应的问题。

（1）若+有意义，则=_____。

（2）已知a、b为实数，且+2=b+4，求a、b的值。

（3）已知+=0，求x、y的值。

这类题就需要学生充分掌握二次根式的特点，同时也是检验学生是否达到要求的标准。

三、理论应用的反思

虽然APOS理论反映了学生学习概念的思维过程，但按这样的过程进行教学时，由于各种因素的影响，有时可能使教学达不到预期效果。

1.课堂不能兼顾每个学生的概念理解

由于每个学生的知识基础不一样，所拥有的经验也不同，这使得他们在理解概念的过程中会产生差异。大部分学生都能达到第四阶段的要求，但有部分学生只能达到第三阶段的要求，甚至可能是第一或第二阶段的要求。这是因为该理论只考虑到学生学习概念的过程，而没有考虑到学生的学习能力差异。

2.是否所有的数学概念都适用APOS理论

有些数学概念学生之前没有任何了解，也没有任何知识基础，如人教版初中数学中方差是为了表示数据的稳定情况，学生之前没有相关的数学知识，这个概念是为了统计的需要而定义的。其实人教版的教学要求也只是让学生能了解方差并能计算，不需要进一步理解。有些概念学生在生活中已经有深刻的接触，数学中只是给它们一个定义，如全等图形是生活中最常见的，轴对称图形是很多建筑中经常使用的，数学中只是给它们一个名称。

3.学生对数学概念的理解是否都要达到“图式结构”的要求

有些概念本身比较抽象，对初中生来说，理解比较困难，且《初中数学课程标准》中对它们的要求也只是了解。如函数是表示变量之间的数量关系，当其中一个变量取任何一个值时，另一个变量都有唯一的一个值与之相对应，这时称另一个变量为其中一个变量的函数。假如另一个变量有两个或以上的值与之相对应，则它就不是其中一个变量的函数。学生要理解这种数量关系，已经比较困难，如果还要达到“图式结构”的要求，这就超越学生的认知水平了。

APOS理论真实地反映了学习数学概念的思维过程，它不仅指出学生的概念学习是建构的过程，还指明了建构的层次；既强调了概念形成对过程的体验，还强调了概念建构的最终结果——在脑海里建立综合的心理图式；既重视学生的概念学习的特点，又关注了概念之间的逻辑体系。APOS理论解释了数学概念学习的本质，是具有数学学科特色的学习理论，事实上，APOS理论指导下的数学概念的学习，本质上更强调学生的思维能力的培养和锻炼。

参考文献：

1.顾伶沅.数学学习的心理基础与过程.福建教育，2009，（7）：23-25.

2.施俊进.关注已有经验促进自主建构——“二次根式（1）”课堂教学实践与反思

（作者单位：浙江省温岭市石塘镇中学）