展示思维过程 揭示数学本质

刘伟光

摘 要：数学的本质在于数学的思维，是用数来揭示规律的学科。本文从几个方面阐述了数学的课堂教学中，怎样展示数学展示思维过程，揭示数学本质，并进一步培养学生数学思维能力，总结数学方法，形成数学思想，提炼数学精神。

关键词：展示思维过程；提示数学本质；学生体验学习

数学的本质是什么？对数学的本质的理解与把握将决定一个数学老师的教学观和教学方法、手段。在初中阶段，一般认为，数学的本质主要是对数学基本概念的理解，对数学思想方法的把握，以及对数学特有思维方式的感悟。不管每堂课的目标是什么，但从数学的本质看应该都是一样的，数学的课堂教学其实就是师生间的这种“思维过程”的教学，也就是说数学的课堂教学一定要重视展示获得知识以及运用知识的数学思维过程。让学生要在教师的引领下，从特殊的、具体的事物中去发现和抽象并总结出一般的规律，在获取知识和运用知识的过程中去发现和领悟数学思学形成过程、发展过程再现出来，并让学生通过总结一般规律，知其然并知其所以然。

一、教材的知识结构与学生的认识水平之间是存在差异的，教师在教学过程中要关注设计教学活动过程，展示知识发生、形成、发展的过程，使之贴合学生的认知水平

数学教材编写呈现的是知识的逻辑体系，隐含了知识的发生、发展、形成的过程以及抽象概括的思维过程，但是学生的认识水平与教材知识结构之间往往存在较大差异，对学生来说是不利于他们学习的。而教学内容则来自于教师对教材内容及学生实际情况需要的综合加工，也就是说，教师要对教材内容进行调整，要通过增减知识链的形成发展过程，更好地展示知识的发生、发展、形成的过程，让学生充分理解、体验这个过程，从而形成良好的思维品质和合理的数学知识结构，更好地促进有效的数学课堂教学。

在浙教版七上第120页5.3一元一次方程解法第2课时中，两道例题：

例 解下列方程：

（1）= （2）-=x

第1道题学生的问题不会很多，但第2道题，学生在做同类型题时，最容易出现的问题就是没有分母的那一项没有乘以最小公倍数民，也就是说漏乘了一项。

查看这一课时的教学建议有一条“去分母时不要漏乘不含分母的项”。那么教师在教学过程中要怎么让学生体验、理解这一点呢？

前几天，笔者刚好听了一堂数学公开课，上的就是一元一次方程的解法，教师在讲解的过程是这样的：

师：要消去分母，应该怎样做？生：两边都要乘以10

去括号，得：2x-15+10x=10x

移项，得：2x+10x-10x=15

合并同类项，得：2x=5

两边同除以2，得：x=7.5

完成后，教师归纳解一元一次方程的解题步骤，强调了不能漏乘，有几项就要乘几个最小公倍数。

笔者感觉这个例题的教学没有让学生真正理解“去分母时不要漏乘不含分母的项”，没有真正理解就会导致将来解题时会按自己的理解去做，就在以后的解题错误中埋下伏笔。

但是，在这个例题的教学过程中，教师如果在两边同乘10时，让学生多写两个步骤，两边同乘以10，-×10=x×10得

去括号×10-×10=x×10得

最后让学生总结过程时再进行说明，这样的话，学生就会知道、理解并记住为什么不含分母的项的那项也是要乘最小公分母的，相信在以后的解题过程中，遇到此类问题会减少犯同样的错。

二、数学问题永远是促进学生思维的主要动力，教师要善于利用数学问题，展示数学思维的过程，引发学生思考，揭示数学本质，让学生体验怎样去分析、思考，并通过学生自己的学习，构建出新的数学认知结构

七年级上数学每课一练第55页整式的练习中，有一道这样的题，如图是一块长方形的草坪，草坪长30米，宽20米，草坪上开有十字形小路，小路宽x米。用x的代数式表示草坪的面积，当x=1.5时，求草坪的面积。

这道题，七年级学生他们理解的能用的方法是小学生的思维过程：草坪面积=整个长方形面积-小路面积。

但是，这样的思维方式明显有局限性，例如，如右图那样的小路，又应该怎样分析？

为解决这个问题，让学生充分理解解题的方法，我设计了如下问题：

1.如右图所示，如果小路只有一条且小路的宽度是x米，那么草坪的面积如何计算？

分析：如果将草坪的左边地块的部分向右移动x米，会怎样？学生形成结论，与右边地块仍会拼成一个长方形草坪，且草坪的长为（30-x）米，而宽为20米不变，面积变成（30-x）米乘以20米。

2.若开的路是如图的折线形，宽度仍旧是x米，那么草坪地块的面积是多少？

分析：同样的思路，将左边的地块向右移动x米，与右边地块拼成一个长方形草坪，草坪面積还是原来的变成（30-x）米乘以20米。

3.若开的路是如图的曲线，路的宽度仍旧是x米，那么草坪的面积是多少？

分析：同样的思路，将左边的地块向右移动x米，与右边地块拼成一个长方形草坪，草坪面积还是原来的变成（30-x）米乘以20米。

通过这样的几道习题，教师展示出了这类题目的根本思维过程，通过移动、拼凑，草坪的总面积还是一个长方形，是不需要分块计算的，这样计算草坪的面积就变得简单。

所以这个习题的本质是：通过平移，将草坪移动到一块，这一块草坪面积应该是（30-x）（20-x）平方米，在将来遇到同样的问题就能用同样的方法来解决。

三、习题是检验学生掌握数学知识的工具和手段，教师对于习题的讲解，也要展示知识点的数学思维，提示数学本质，帮助学生巩固和加深对数学知识的体验、理解，引导学生在问题的数学的本质中去分析、提炼，提炼出一类问题的解决方法

例 兰溪市2015学期第一学期期末考试中的第16题：

如图，∠AOC=60°。将一把三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN=30°。

（1）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，则∠CON的度数是______；

（2）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，则∠AOM-∠NOC的度数是________。

第1小题没有什么问题，第2小题重点分析，找出这个问题的本质。

师：∠AOM、∠NOC两个角度数能先求出来吗？

生经过思考：不能，因为这两个角度是不定的，大小会变，所以求不出来。

师：那就是说，通过先求两个角度数再求差这种方法已经行不通。再找哪种情况下以点O为顶点的角中有没有特殊角？

生：有，∠MON=90度，∠AOC=60度，∠COB=120度。

师：其中∠MON，∠AOC从位置上有重叠部分吗，是什么？

生：是∠AON。

师：再想想，能不能在这个角上找解决方法。

生经过思考：∠AOM与∠NOC两个角都同加上∠AON，即∠AOM-∠NOC=（∠AOM+∠AON）-（∠NOC+∠AON）=∠MON-∠AOC=90-60=30度。

由数学学科自身的特点决定了数学教学就是数学思维活动的教学，数学的本质是让学生在学习中体验数学思维。北京师范大学周玉仁教授曾经说过“只要是学生能自己探索得出的，教师就决不能替代；凡是学生能独立思考的，教师就决不能暗示”，教师要做的是把获取知识和运用知识的思维过程充分展示、揭示给学生，让学生在这样的教学过程中体验、感受数学知识，形成自己的数学认知。

参考文献：

1.卜以楼.数学本质教学的个案研究.

2.吕林海.从理性思维到深层理解：数学教学的实质性关注.

3.陈厚德.有效教学[M].北京：教育科学出版社，2000.

（作者单位：浙江省缙云新碧中学）