PA-DDS算法在HBV模型参数优化中的应用

代 旭, 陈元芳

(河海大学 水文水资源学院，南京 210098)

0 引 言

水文模型是模拟降雨径流关系的工具，这些模型在结合流域产汇流机制的基础上定量分析了出流过程线[1]。模型模拟的精度跟许多因素有关，比如资料的误差，模型结构，参数的相关性及其准确性等。模型参数优化在确定了模型的结构以后对模型的模拟结果起重大作用。

在水文模型参数率定的两种方法中，试错法是人工率定的主要方法，简单易行，但需要大量的计算时间[2]。自动率定方法是目前发展较快且应用广泛的参数率定方法。自动率定法包括局部寻优和全局寻优两种方法。针对单峰函数，局部寻优法可以有效快速地找到最优解，而全局寻优法通过全局寻优避免最优解限制于局部空间内。

水文模型参数率定方法分为单目标[3]和多目标率定两种[4]。多目标优化算法作为全局优化的重要组成部分，其目的在于搜寻可行的参数空间并找出其Pareto最优解集[5]。目前多目标优化算法有NSGA-Ⅱ[6]法、MOGA法[7]、PAES法[8]、AMALGAM法[9]等。其中NSGA-Ⅱ算法作为其他多目标寻优算法性能检验的标准，具有寻优速度快，解集分布广泛且均匀的优点。AMALGAM算法通过对四种相关算法分配权重从而实现信息交换同时寻优，解的收敛性能较好。本文将PA-DDS算法与NSGA-Ⅱ算法和AMALGAM算法在收敛性能方面进行了对比，比较了PA-DDS算法与AMALGAM算法的Pareto前沿，并将其用于HBV参数优化中，结合巴格玛蒂河流域相关资料验证了该方法的可行性和适用性。

1 PA-DDS算法

Tolson和Shoemaker于2007年提出了动态维度搜索(Dynamically Dimensioned Search, DDS)算法[10]，并与混合竞争优化(Shuffled Complex Evolutions, SCE[11])算法进行详细比较，结果表明：当迭代次数有限且维度不小于10时，DDS算法明显优于SCE算法。Tolson和Asadzadeh在Pareto存档进化策略(Pareto Archived Evolution Strategy, PAES)的启发下，使用DDS搜索机制，并在搜索过程中存档所有非劣解，提出了处理多目标问题的Pareto存档动态维度搜索(Pareto-Archived Dynamically Dimensioned Search, PA-DDS)算法[12]，应用实例表明PA-DDS算法具有较高的计算效率。

PA-DDS方法的主要步骤(图1)为：

步骤一，定义具有n个目标函数的多目标优化问题。

步骤二，利用DDS算法实行n个优化路径从而最小化每一个目标函数，同时存档外部解集中的所有非劣解。

步骤三，计算外部解集中解的拥挤距离，并基于此选择非劣解。

步骤四，通过扰动参数产生新解，并将新解与外部解集中的解进行比较，如果未达到计算量，且新解是非劣解，那么新解即为当前最优解，否则重新对当前解扰动产生新解；若达到计算量，则停止迭代，外部解集中的解即为折中解的估计值。

2 HBV模型

HBV(Hydrologiska Fyrans Vattenbalans Modell)主要用于河流流量预测和河流污染物传播，由瑞典水利气象研究中心开发[13]。张建新[14]等将HBV模型应用于中国东北多冰雪地区，建立了考虑融雪的洪水预报系统；张小琳[15]等对HBV的实际蒸散发模型进行了评估；李海川[16]等将HBV模型应用到汤旺河流域进行参数敏感性分析，并在此基础上率定参数。

2.1 模型特征

HBV模型是半分布式的概念模型，包括气象插值、积雪累积融化、蒸散发估计子程序、土壤水分计算程序、径流产生程序、路径选择程序。模型输入数据包括观测雨量、气温以及可能蒸散发估计量。气温用来计算积雪累积和融化，在无积雪地区温度项可以忽略。

2.2 模型参数

模型参数包括8个初始给定参数，分别是：SP为雪盖厚度，单位为mm，WC为雪的等效水量，单位为mm，SM为土壤水分，单位为mm，UZ为上层土壤需水量，单位为mm，LZ为下层土壤蓄水量，单位为mm，WHC为雪的滞水能力因子，CFR为再冰冻因子，INOUT表示地下水入流量/出流量，Inflow>0，Outflow<0。8个初始给定参数的数值见表1。

表1 HBV模型初始给定参数及其数值Tab.1 Initial parameters and their numerical values of HBV model

图1 PA-DOS流程图Fig.1 Flow chart of PA-DOS

模型还包括9个待优化可变参数，分别是：FC为土壤蓄水量阈值，单位为mm，LP为潜在蒸散发能力阈值，单位为mm，ALFA为描述随着响应水库含水量的减少径流产生非线性衰减的参数，BETA为控制响应函数的参数或每毫米降雨积雪融化所得到的土壤蓄水量的增加值，K为上层响应水库的消退系数，K4为下层响应水库的消退系数，PERC为从上层相应水库到下层响应水库的渗漏，CFLUX为毛管含水量的阈值，MAXBAS为转移函数参数。

3 优化过程

利用PA-DDS优化算法对HBV模型9个待优化可变参数进行优化。

3.1 参数初始值及寻优空间

基于研究流域的特点及参数的物理意义，给出9个参数的初始值并通过人工率定法给出参数的阈值(表2)。

表2 HBV模型待优化参数的初始值及阈值Tab.2 The initial value and threshold value ofthe optimized parameters

3.2 目标函数

Madsen[17]和Mertens[18]提出了对于优化算法以均方根误差(RMSE)为目标函数，因此本文目标函数选作高低流量均方根误差，对应的方程分别是：

(2)

式中：Qobs、Pobs分别为高低流量观测值；Qcal、Pcal分别为高低流量模拟值；n为实测资的长度。

4 应用实例

巴格玛蒂河位于尼泊尔加德满都谷地，发源于肖普里山，汇入恒河，降水是主要补给源，流域面积2 900 km2。

本文将PA-DDS算法收敛性能与NSGA-Ⅱ算法和AMALGAM算法进行对比(图2)，并将非劣解分布的均匀性及解的相似性方面与AMALGAM进行比较(图3)，选取巴格玛蒂河2005-2011年期间洪水日径流过程数据进行分析，多目标同时考虑高流量与低流量的均方根误差，优化过程采用PA-DDS算法进行计算，分析生成Pareto最优解，从图中可以看出来Pareto曲线为下凸曲线，有明显的拐点，从而满足获得最优解的条件。

4.1 算法收敛性能分析

基于超体积(Hyper-Volume)在评价Pareto前端收敛性、宽广性和均匀性时表现出来的客观性[19]，本文选择超体积作为指标来判断PA-DDS算法与NSGA-Ⅱ算法和AMALGAM算法的求解质量。其定义如下：

Hv=volume(∪NPFi=1vi)

(3)

式中：NPF为最终Pareto前沿上解的个数；vi为Pareto前沿上第i个解与参照点围成的体积。

图2 不同算法超体积收敛曲线Fig.2 Hyper-Volume convergence curve of different algorithms

从图2中可以看出，由于AMALGAM算法与NSGA-Ⅱ算法初始种群数都要大于PA-DDS算法，所以在优化过程初期，前者超体积大于后者。对于目标函数最小化的双目标优化问题，超体积值越大，表明Pareto前沿解的分布广度越大。从图2中也可以看出，当迭代次数大于200次时，PA-DDS非劣解的广度都要优于其他两种方法，同时AMALGAM算法、NSGA-Ⅱ算法在迭代次数分别达到100次和200次时，超体积值稳定，算法收敛；而PADDS算法当迭代次数达到270次时才趋于稳定，表明AMALGAM算法和NSGA-Ⅱ算法在HBV参数优化过程中相比于PA-DDS算法更快趋向于收敛。

4.2 非劣解分布分析

从图2中可以看出，PA-DDS算法和AMALGAM算法在达到收敛时两者对应的超体积值相对接近，所以将两种算法求解的目标函数值进行对比分析。将两种算法的Pareto前沿绘制在图3中。

图3 不同算法得到的Pareto前沿Fig.3 The Pareto front obtained by different algorithms

基于PA-DDS算法的动态存档机制，其在求解过程中不会剔除所有非劣解，所以从图3中可以看出，PA-DDS算法所得到的Pareto前沿的广度和数量要优于AMALGAM算法。同时在目标函数同时达到最小值的区域附近，两种算法Pareto解集比较接近，说明适用于巴格玛蒂河流域的HBV模型参数优化问题中两种算法的寻优性能相似，但PA-DDS算法非劣解分布更加密集且均匀，其算法表现相对更优。

4.3 寻优速度及稳定性分析

为分析PA-DDS算法和AMALGAM算法的寻优速度和稳定性，记录PA-DDS算法和AMALGAM算法各自独立运行15次的时间，并将两者得到的Pareto前端绘于图4。

统计15次实验运行时间PA-DDS算法平均耗时135 s，AMALGAM算法平均耗时144 s，所以前者寻优效率优于后者。从图4中可以看出，两种算法在目标函数同时达到最小值的附近区域，解集分布都相对集中；在其中一个目标函数趋于较大值，另一个目标函数趋于较小值的区域附近，解集分布都相对分散，表明两种算法能得到质量较高的非劣解。同时可以看出，无论在哪个区域，PA-DDS算法所得非劣解集分布更为集中，表明该算法在HBV模型参数优化问题中具有良好的稳定性。

图4 不同算法15次独立实验得到的Pareto前沿Fig.4 The Pareto front obtained by 15 independent experiments with different algorithms

4.4 优化结果

将PA-DDS算法所得Pareto前沿中目标函数同时达到最小值时的参数组作为最优参数组，结果见表3。选取2013年作为验证期来检验PA-DDS算法参数优化结果(图5、表4)。

表3 最优参数组数值Tab.3 The value of optimum parameter array

图5 2013年流量拟合效果图Fig.5 Discharge Fitting effect in 2013

表4 PA-DDS算法与HBV结合的结果统计表Tab.4 PA-DDS algorithm combined with HBV results statistics

由表4可以看出，用PA-DDS多目标优化算法对HBV模型参数优化结果，拟合5场洪水确定性系数平均值为0.86，其中0.85以上的有3场，接近0.9的有2场。以上结果表明，用PA-DDS多目标优化算法对HBV模型参数优化的结果令人满意。

5 结 语

(1)本文将PA-DDS多目标优化算法在收敛性能方面对比NSGA-Ⅱ算法和AMALGAM算法，并将非劣解分布的均匀性及解的相似性方面与AMALGAM进行比较，利用尼泊尔巴格玛蒂河流域资料，采用PA-DDS算法对HBV模型参数进行优化，并选取五场历史洪水对优化结果进行了检验，发现PA-DDS算法寻优速度快，非劣解分布范围广并且稳定，以确定性系数为指标，模型拟合效果较好。

(2)分析PA-DDS算法对于其他水文模型的适应性是今后研究的重点。

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