高中物理常见的极值问题解法探究

赵子怡

摘 要：高中物理里面有一种经常出现的题型就是求极值问题，它可以准确的考察学生对物理知识理解使用的情况，培养学生使用数学知识迁移力，判断和应用的能力，同时它也是很多年高考物理重要的题型，分值很大。对大量题的解法做出具体的分析，可以发现求极值主要的解法有数学法、物理法、实验法。笔者通过对这三种主要的解法进行说明。

关键词：中学物理 物理条件 函数方程 物理极值 数学变换

中图分类号：G633 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2016）10（c）-0160-02

1 数学法

数学法，顾名思义，就是使用数学里面的知识对物理里实际的问题进行解决的方法。它也是物理里面求极值最为经常使用的一种有效的方法。主要过程是：首先审题，认真的阅读和思考，明白题目里面说明物理现象与发生物理的过程是怎样的。其次是要绘制物理的状态图，最大限度把题意用图示的方法表现出来，同时还要标明这些物理量的从属关系。再次是要建立函数的基本表达式。最后是对函数的表达式做好分析和研究，再把需要求的物理量极值求解出来。数学法具体可以分为以下几点。

1.1 一次函数法

当求极值物理量在所有的物理过程中只是随着一个物理量化而改变，同时成一次函数关系：y=ax+b，则所求的物理量极值就是这个物理过程中始末两个状态时这个物理量的值。

（1）当a>0，始状态为最小值，末状态为最大值。

（2）当a<0，始状态为最大值，末状态为最小值。

例1：一辆汽车从离车站2 km的地方开始从公路作v =10 km/h的匀速运动。求汽车从开始到3 h过程离车站最大的距离与最小的距离。

解：据S=Vot+So，当t=0时，s存在最小值，Smin=So=2 km。

当t=3 h，s有最大值。Smin=l0×3+2=32 km。

答：这个汽车在0～3 h内距离车站最大的距离为32 km，最小的距离是2 km。

1.2 二次函数法

当需求的极值物理量在全部过程里面只是随一个基本的物理量变化而变化，并且成二次函数的关系也就是y=ax2+bx+c，就可以使用配方法把上面的y=ax2+bx+c变化为y=a（x+m）2+k。

（1）当a>0，不论x取何值，a（x+m）2≥0。

则x=-m时，y有极小值，即所求的物理量有最小值。Ymin=k=（4ac-b2）/4a。

（2）当a<0，不论x取何值a（x+m）3于≤0。

则x=-m时，y有极大值，所求物理量就有最大值。Ymin=k=（4ac一b2）/ 4a。

例：一汽车在十字路口等绿灯，当绿灯亮的时候这辆汽车以a=3 m/s2的加速度开始加速行驶，正在此时一自行车以6 m/s的速度匀速从后面超过了汽车，求汽车从路口开动后，在追上自行车前的过程中什么时候两车的距离最大以及最大的距离？

解：设两车的行驶时间是t秒，则t秒内自行车行驶距离是S1=V0t，汽车行驶距是S2=at2，所以t秒内两车距离是△s=S1-S2

S=6t-×3t2

=-（t+m）2+k

=-（t-2）2+6当t=2 s时，s有最大值s=6 m

答：当t=2 s时两车距离是最大的，最大距离是Smax=6 m

1.3 一元一次方程的极值问题

一元二次方程的相关知识ax+bc+c=0（a≠0）是一元二次方程，它的两个根是x1=，x2= 。

当判别⊿=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根x1，x2。当⊿=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=-，当⊿=b2-4ac<0，无实数根。

1.4 一元二次方程解决物理极值

如图1中AB是均匀直杆，每米重为W。A端插在墙内在距A长d处挂了一个重物M，重是P，现在B处向上抬平直杆。问AB长为多少时，力F最小？

这个大部分人会觉得，F力臂很大，就是AB杆越长就特别省力。而实际上，直杆AB越长杆自身就越重，人们需要耗费一些能量来支持杆自身重量，这样直杆AB越长却不一定会省力，杆AB究竟多长才可以达到省力呢？下面进行方程的分析。

1.5 三角函数极值问题

正弦余弦函数知识。

y=和y=分别为正弦与余弦函数，它们值域都是y←[-1，1]。对y=函数来说，当x=2kπ+，K=0， 1， 2， 3，……时，y有极大值是1。

倍角公式sin2x =2sinx0 cosx。

使用三角函数解决物理极值案例，以初速度V把一物体向上抛出，如果不计空气阻力，为了让物体抛出水平距离最远，抛物体的速度方向与水平夹角是多大？

分析：这个问题是在不计空气阻力下做的斜抛运动，大家可以把这个运动分为两个部分：在水平方向上看做勻速直线的运动。而在竖直方向上看成是竖直上抛，这个曲线运动的通过这样的分解成为两个部份直线运动。

2 物理法

（1）当a=0时，速度有最大值。（2）约束力（像接触面弹力，绳的张力）为0时，一些物理量达到了极值。（3）当速度为0时，位移是最大值。（4）相对速度为0时，一些物理量达到极值。（5）当感应电动势e=0时，利用回路的磁通量绝对值达到极值。（6）在振荡电路中，当i=0时，电量有极值；当q=0时，电流有极值。

例：己知：如图2所示，LC振荡电路中电容器极板1上的电量随时间变化的曲线如图2所示，则：

A.a，c两时刻电路电流最大，方向相同。

B.a，c两时刻电路电流最大，方向相反。

C.b，d两时刻电路电流最大，方向相同。

D.b，d两时刻电路电流最大，方向相反。

分析：在振荡电路里面，当q=0时，电流最大，因此A，B不正确，同时b，d两时刻的放电过程是相反的，b为正向放电刚结束，d为反向放电刚结束，所以电流的方向正好是相反的，因此选项D是正确的。

3 实验法

物理学和其他的学科相比，是实践性特备强的课程，物理学很多的定理和规则全是利用实验研究来得出的。物理学里面的极值问题也能够通过实验的步骤进行的，笔者在上面举出的各个例题都是可以利用实验法进行确定。但是最可贵的是有一部分的物理量变化规律由于物理条件限制，大家就能够用实验法就可以进行确定了。

4 结语

物理学里面的求极值方法属于知识性很强，涉及面非常大的。笔者的这个问题只是总结了一些常见求解的方法，不是特别的全面。广大的学生在高中物理求极值这个问题上，除了文章中说明的这些比较常见的解题方法之外，也可以使用解析几何的相关知识和数学的归纳分式法进行相关的求极值。它不但能够解决力学的相关问题，还能解决热学、电磁学、光学等这些极值的问题。

参考文献

[1] 徐建.福州物理学会新编高中数理化复习参考丛书[M].天津：天津科学技术出版社，2016.