环形B样条基组的设计构建及在量子环中的应用

尹东，史庭云

(1.波谱与原子分子物理国家重点实验室，中国科学院武汉物理与数学研究所，湖北 武汉 430071；2.中国科学院大学，北京 100049)

环形B样条基组的设计构建及在量子环中的应用

尹东1,2，史庭云1

(1.波谱与原子分子物理国家重点实验室，中国科学院武汉物理与数学研究所，湖北 武汉 430071；
2.中国科学院大学，北京 100049)

构造满足周期性边界条件的环形B样条基组, 并将之应用于单电子量子环基态及激发态能级的计算.该方法计算基组较小，可以处理变量不可分离的非线性微分方程，简化计算模型.使用GaAs量子环的参数进行计算，结果与已有文献结果符合.结果显示电子的能级呈现AB振荡现象.若量子环上存在杂质，则基态和低激发态能级将不随磁场作AB振荡.此数值方法可推广至更复杂的具有周期势分布的结构.

环形B样条；周期性边界条件；量子环

0 引言

近年来随着半导体制造工艺的发展，人们可以制作3个维度尺寸均在纳米数量级的半导体结构，比如量子点和量子环，也被称为人造原子[1-2].因为其特殊的物理性质、光学性质、量子点和量子环，引起了广泛关注[1-3].由于量子环中的电子被局域在非简单联通的二维平面里，量子环中存在特殊的物理效应，比如AB效应[2]和持续电流现象[4-5].为了较好地理解量子环中的实验现象，近年来提出了各种模型对环中的能级及物理特性做模拟计算[6-8].在这类计算中，合适的基组选择至关重要.B样条基组方法是近年来新发展起来的基组方法，在原子分子物理中有广泛的应用.B样条在模拟局域分布的波函数上具有优势，采用B样条作为基组进行变分计算是获得原子分子基态及低激发态能级的一种常用方法[9-10].

乔豪学等人采用B-splines基组计算了氦原子在匀强磁场中的能级[11]，与采用Hylleraas基进行高精度计算的结果相对误差小于0.13%.卞学滨等人对一维氢原子空间波函数做B-spline基组展开求解含时薛定谔方程[12]，计算了激光场中氢原子的波函数，结果显示基组较小时波函数就可以收敛.康帅等人用 B-splines 基计算了量子点中类氢杂质的能级[13].李勇等人用B-spline基组研究了碱金属原子高激发Stark态的反交叉现象[14].胡师林等人采用B-spline基组进行了C2H2分子在激光场中的含时Hartree-Fock计算[15].

以往应用于原子分子物理计算的B-splines基组虽然取得了很大的成功，但在处理周期性势场或边界条件问题上却存在不足，难以在边界上保证样条导数连续.

1 环形B样条定义

0=t1≤t2≤t3≤…≤ti-1≤ti≤ti+1≤…≤tn<2π，

现在，我们可以在定义了一阶样条后，类似传统B样条递推定义的方法，给出k阶样条及其一阶导数的定义：

(1)

(2)

定义样条基组时要注意样条阶次k小于样条结点数目.经检验，对于任意的结点分布，上述环形B样条定义满足样条归一化条件[9].

图1为无重结点均匀分布结点环形7阶B样条基组，在区间端点θ=0及θ=2π处无重结点，样条光滑连续，并且一阶导数连续，样条基组满足归一化条件.基组的性质由结点分布和样条阶次共同决定.样条结点序列为：

图2为在区间端点θ=0及θ=2π处为重结点的环形B样条基组.样条函数值连续，但一阶导数不连续，一般把杂质所处的位置设为样条的重结点，体现波函数在该处的奇异性.

图1 无重结点均匀分布结点的7阶环形B样条基组

图2 θ=0及θ=2π 处为重结点的环形B样条基组

2 量子环中电子能级计算

由于量子环的半径为几十个纳米，在环中运动的电子会出现量子现象，可以通过调节环上的电压人为控制环中电子的数目[1-2].目前有关量子环的电子能级的计算有大量的工作[6-8]，方法多种多样.比如: 精确对角化、局域自旋密度近似和扩散蒙特卡罗方法.这些方法都取得了较好的计算结果，计算了单电子或多电子量子环在外电场或外磁场中的能级，观察到AB振荡及持续电流现象.我们在此采用环形B样条，可以更方便地构造基组进行量子环电子能级计算，并保证极高的计算精度和较快的计算速度.我们给出以下几个例子说明环形B样条在处理环形量子阱问题上的成功运用.

2.1 单电子无外场 考虑一个电子被约束在一个半径为1的单位圆环上运动，不考虑环的宽度，此问题简单，有解析解.我们首先考虑角动量z轴分量的本征值方程计算，运动方程为：

此方程有解析解为:Lz=mη(m=0,±1,±2,Λ)， 其波函数为eimφ.采用环形B样条构造波函数进行数值计算，计算过程采用a.u.单位.

可计算获得磁量子数m的本征值的数值结果见表1，其本征值关于0对称分布，表1中a[b]表示a×10b. 从表1的计算结果可以看出，即使较小的基组，环形B样条的结果也有很高的精度，并与理论结

表1 Lz本征值计算结果的收敛性检验

果符合.适当增大基组或改变样条的阶次，能使数值结果的有效位数迅速提高，并且m=0的本征值数值结果有很好的计算稳定性，计算精度保持在10-14.计算的本征值随着样条基组的增大及阶次的升高逐渐收敛，m的绝对值越小的本征值，收敛速度越快，并且误差很小.

2.2 单电子外加磁场 2000年，德国Lorke小组采用分子束外延技术得到环形量子阱，通过调节电压可以人为控制量子环中电子的数目，以观察AB效应.我们可以采用环形B样条作为基组，构造波函数，对单电子量子环的能级进行数值计算.计算中，若无特殊说明，选取m*=0.067 me (me为电子的质量)，R=50 nm，g*μB= 0.025 47，ε=12.4ε0和hω0=3 meV (适用于GaAS量子环).能量、长度和磁场的单位分别取meV、nm和Tesla(T)，电量q以|e|为单位，磁场沿z轴正方向.不考虑塞曼项，磁场中一维理想单电子量子环的哈密顿量为：

能量本征值有解析结果：

若采用变分法求解，基函数与真实波函数相似时，收敛速度较快.因此本文中采用7阶环形B样条做基组，求解该问题，计算结果列于表2和表3.表2为B=0 T时能量本征值的收敛性检验，其中a[b]表示a×10b.表3为能量本征值的相对误差，其中a[b]表示a×10b，带*号数值由于分母为0，所以给出的是绝对误差.

表2 B=0 T时能量本征值的收敛性检验

表3 能量本征值的相对误差

2.3 环上有杂质粒子 我们也可以采用环形B样条构造波函数来处理无解析解的问题.比如，量子环上存在杂质[16]，如图4所示，Di表示第i个杂质离子，e1表示电子，φDi表示第i个杂质离子的极角，θ1表示电子的极角，杂质离子与电子间距离为d.

由于杂质离子的存在，体系失去了环的对称性，因此不能进行变量分离.此时采用重结点环形B样条，将杂质离子的位置设为重结点，可以很方便的解决计算问题.杂质离子与电子之间有库仑势作用.两者夹角较小时考虑用余弦定理计算间距时加一小量避免计算结果发散[9].为提高计算的收敛速度，此时结点为重结点双指数型分布.体系的哈密顿量为：

图3 单电子量子环能级随环内磁通量的变化

图4 有杂质存在的单电子量子环

V=VeD+VDD,

计算结果见表4、图5和图6.表4为有杂质存在的单电子量子环能级计算的收敛性检验，其中NDO表示杂质数目, 每个杂质离子带电+e,NKF表示样条基组大小，B=0 T.

表4 有杂质存在的单电子量子环能级计算的收敛性检验

图5 极坐标下基态电子在环上的几率分布

从表4可以看出，环形B-样条对环上存在杂质离子的计算结果收敛性好，数值稳定.

由于环上存在带电杂质，与环上运动的电子有库仑作用，单电子量子环基态及低激发态能级随磁场变化的情况与没有杂质时有显著不同，能级变化见图6.从图6可以看到基态及较低的激发态由于杂质的束缚或排斥作用，使其能级不随磁场变化发生振荡，较高的能级会发生AB效应.在计算过程中将杂质离子处设为重结点，可加快计算结果的收敛速度.因为可以任意设定样条的重结点个数，因此理论上可以计算环上存在多个杂质的情况.

图6 量子环能级随磁场的变化

3 结论

本文中设计一种环形B样条，用其作为基组对量子环内电子波函数进行展开，可以计算其能量本征值及本征矢，数值模拟结果与已有的文献结果吻合.并且模拟过程用的基组数目较小，计算速度较快，是处理量子环及周期性势场本征值问题的一种较为简便有效的数值方法.可以考虑结合传统的B样条，将其推广到2维、3维的量子点、量子环本征值问题的求解.

致谢 感谢在工作中与吴孟山和唐永波的有益讨论与支持.

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(责任编辑 郭定和)

Design and construction of circular B-spline basis set and application in quantum ring

YIN Dong1,2, SHI Tingyun1

(1.State Key Laboratory of Magnetic Resonance and Atomic and Molecular Physics,
Wuhan Institute of Physics and Mathematics, Chinese Academy of Sciences, Wuhan 430071, China；
2.Graduate University of the Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China)

Circular B-spline basis are constructed to satisfy the periodic boundary conditions, and applied to the calculation of single electron quantum rings in the ground and excited states. Using fewer basis set, the nonlinear differential equations whose variables can not be separated are solved in a simplified method.The parameters of the GaAs quantum ring are used in calculation,and the results are in accordance with the other theroetical and experimental results.The energy levels of electrons show AB oscillation.The ground and low-lying excited states with impurities on the ring shows no AB oscillation.This numerical method can be extended to more complex structures with potential distribution cycle.

circular B-spline；periodic boundary condition；quantum ring

2016-05-10

国家自然科学基金(11274348，91536102)资助

尹东(1976-)，女，博士生，E-mail: 281607468@qq.com；史庭云，通信作者，研究员，E-mail: tyshi@wipm.ac.cn

1000-2375(2017)02-0131-6

O562.1

A

10.3969/j.issn.1000-2375.2017.02.005