浅谈几何与代数方法的有机结合思想

张涛　陈为华

【摘 要】几何与代数有机结合思想促进了人们对空间图形认识的变化，从而把几何学推到一个新的阶段，为代数学提供了新的工具，开拓了代数学的新的研究领域，为微积分的创立准备了必要条件，加速了微积分形成的历史进程，为数学的机械化证明提供了重要启示。此外，几何与代数的有机结合思想还给数学研究从方法论上提供了许多重要启示，如把点与数对、曲线与方程相对应的思想加以发展，提出了函数与点、函数集与空间相对应的思想，在此基础上创立了泛函分析这一新的理论。

【关键词】坐标系法；几何；代数；有机结合

1 坐标系法

坐标系法是解析几何的基本方法，自17世纪上半叶，法国数学家笛卡尔以力学的要求为背景，用代数化方法研究几何内容的课题开创了坐标法的传统，即几何的代数化方法。

坐标系法的基本思想是：引进适当的坐标系，使坐标平面上点与数对（x，y）一一对应，进而曲线与含有两个变量的方程建立一一对应关系，这种对应关系就是映射，在这种映射下，几何关系问题转化为代数关系问题，然后通过代数运算求出结果，再把所得的结果翻译回去，就可以得到几何关系问题所需要的结论。

坐标本身是几何代数化的产物，是点与数的统一体，它既是点的位置的数量关系表现，又是数量关系的几何直观，因此，它具有形与数的二重性。有了坐标概念，就可以把空间形式的研究转化为数量关系的研究了。

例如，求两点之间的距离，如果两点的坐标（x1，y1）和（x2，y2）给定，其距离就表示一个代数式■，于是，几何学上两点之间测量问题就转化为代数学上求一个代数式的值的问题。

再如，求两条曲线的交点，如果两条曲线的方程给定，那么通过联立方程组就可求得交点的位置，因为方程组的解恰恰是两条曲线交点的坐标。

坐标系法的另一研究与应用方向就是代数的几何化，即将代数问题转化为几何问题，其基本的思想是：通过建立适当的坐标系，使数对（x，y）与坐标平面上点一一对应，进而建立含有两个变量的方程与曲线一一对应关系，这种对应关系就是映射，在这种映射下，代数关系问题转化为几何关系问题，然后通过研究曲线的变化与性质，再把所得的结果翻译回去，就可以得到代数关系问题所需要的结论。

2 几何与代数有机结合思想的理论价值及影响

2.1 促進了人们对空间图形认识的变化，从而把几何学推到一个新的阶段

几何与代数的有机结合不仅为几何学提供了新的方法，使许多难以解决的几何问题变得简单易解，更重要的是为几何学发展注入了新的活力，增添了崭新的内容。

首先，传统逻辑学的基础主要是推理，基本上是定性研究，如直线的平行性、曲线的相交、图形的全等。几何与代数的有机结合，使得图形性质的研究变成方程的讨论和求解，而方程的研究主要是数量上的分析，这就把几何学从定性研究阶段推到定量分析阶段。

其次，在传统几何学中，空间概念是在人们的社会实践活动中逐渐抽象出来的，这种空间概念具有明显的直观性与经验性，如一维的直线、二维的平面和三维的立体。几何与代数的有机结合，使得空间的几何结构实现了数量化，而数量化的空间几何结构已不再局限于一维、二维和三维，它可以是n维以至无穷维的，这就把几何学从现实空间图形的性质推广到抽象空间图形的性质。

第三，传统几何学主要研究固定不变的图形，如各种各样的直线形和曲线形，这些图形虽然可以移动和相互变换，但图形本身的结构却是不变的，即传统几何学是一种静态的几何学。几何代数化的出现，使得曲线变成了具有某种特定性质的点的轨迹，即可把曲线看作是由点通过运动而生成的，这就使人们对形的认识由静态发展到了动态。

2.2 为代数学提供了新的工具，开拓了代数学的新的研究领域

几何与代数的有机结合不仅直接影响和改进了传统的几何学，扩大了几何学的研究对象，丰富和发展了几何学的思想方法，而且也使代数学获得了新的生命力。

首先，几何学的概念和术语进入代数学，使许多代数课题具有了直观性。与几何学相比，代数学具有更高的抽象性，许多抽象的代数式和方程使人难以把握它们的现实意义。几何代数化的出现，为抽象的代数式和方程提供了形象而直观的模型。

其次，几何学思想方法向代数学的移植和渗透，开拓了代数学新的研究领域。如以线性方程为主要对象的线性代数，就是在线性空间概念的基础上构造起来的，这里的“线性”、“空间”等概念并不是代数学本身所固有的，而是从几何学中借用的。

2.3 为微积分的创立准备了必要条件，加速了微积分形成的历史进程

几何与代数有机结合的思想形成的标志是解析几何的创立，笛卡尔在创立解析几何过程中，不仅提出了代数与几何相结合的思想，而且把变数引进了数学。变数的引进，对于数学的发展有着极为重要的意义，特别是为微积分的创立准备了重要工具，加速了微积分形成的历史进程。从这种意义上看，可把解析几何的产生看作是微积分创立的前奏。

2.4 为数学的机械化证明提供了重要启示

定理的机械化证明，是现代数学新兴的一个研究领域。从机械化算法上看，它的方法论基础是利用代数方法把推理程序机械化。因此，定理的机械化证明的思想渊源可追溯到几何的代数化。

此外，几何与代数的有机结合思想还给数学研究从方法论上提供了许多重要启示，如把点与数对、曲线与方程相对应的思想加以发展，提出了函数与点、函数集与空间相对应的思想，在此基础上创立了泛函分析这一新的理论。

【参考文献】

[1]李玉琪.数学方法论[M].海口：南海出版公司，1990.

[2]解恩泽，徐本顺.数学思想方法[M].济南：山东教育出版社，1989.

[责任编辑：田吉捷]