源于教材高于教材，辨识特征眺望远方——对一份七上期末卷的赏析与思考

☉江苏海安县城东镇开发区实验学校 刘才云

源于教材高于教材，辨识特征眺望远方
——对一份七上期末卷的赏析与思考

☉江苏海安县城东镇开发区实验学校 刘才云

第一学期期末考试结束后，我们从各个学科网站、QQ群等自媒体平台上看到大量的各地期末考试试卷，还有不少大QQ群开展很多研讨，这种“民间研讨”“草根研讨”的自发研究精神让人感动，我们看到很多一线教师对命题研究、解题研究的兴趣和热情，确实值得各级教研部门、命题专家深思.本文拟对本地区（南通市海安县）七年级期末卷展开赏析，并跟进教学思考，供研讨.

一、考题摘选与赏析

考题1：（全卷第10题）如图1所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有n（n＞1）个点.

图1

记第1个图形中总的点数为S2=3，第2个图形中总的点数为S3=6，依次为S4=9，S5=12.

以下说法错误的是（）.

A.S7=18B.S11=30

C.若Sn=60，则n=21D.若Sn+Sn+1=57，则n=11

思路解析：每条“边”（包括两个顶点）有n（n＞1）个点，每个图形总的点数S=3（n-1）.当n=5、7、11时，S=12、18、30.对于前三个选项，如果用死算的方法也可以鉴别它们正确，从而直接选D；但如果从方程角度处理，可以直接解出D中的n=10.

命题赏析：解题的关键是发现“S=3（n-1）”，可以对比选项B、D，发现矛盾.另外，这道题源于教材原型，但增设了参数与符号表示，体现数学的“两大特征之一”（日本数学家米山国藏曾指出，数学的两大特征就是一步一步向上走、大量具有学科特征的符号表示，可以追求数学概念或解法表述的简洁性）.这种符号表示方法将会在八年级、九年级有更多运用，特别是高中阶段、大学阶段的数学学习还能更加体现出这种符号表示特征.

考题2：（全卷第17题）某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200吨；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少100吨.若新、旧工艺的废水排量之比为2∶5.则新工艺的废水排量是____吨.

思路解析：这是由教材例题简单改编而来，利用一元一次方程可获解，注意这里只要求填写新工艺的废水排量.

命题赏析：一元一次方程的应用在七年级教学中占有相当的比例，但是不少含繁杂信息量的一元一次方程在限时100分钟的考试中并不是很合适，本地区在填空题倒数第二题的位置直接选用一道教材例题，并简单改编，用心良苦，既引导师生重视教材例题教学，又体现了应用题命题背景的一种简洁追求.

考题3：（全卷第18题）有一列数，按一定规律排列成1，-3，9，-27，81，-243，….若其中某三个相邻数的和是-1701，则这三个数中最大的数是_____.

思路解析：这是由教材上一道例题改编而来，从符号和绝对值两方面观察，可发现这列数的排列规律：后面的数是它前面的数与-3的乘积.如果三个相邻数中的第1个记为x，则后两个数分别是-3x、9x.可列方程x-3x+ 9x=-1701.解出这三个数是-243、729、-2187.这三个数中最大的数是729.

命题赏析：考虑到是学期结束时的考试，这道题只是将教材例题简单改编了，增设了判断三个数中最大的数，考生需要看清指令解答，而不能只是匆忙落笔算出三个数.源于课本、高于课本，这道填空题给了我们启示.特别是所选的应用题的背景非常适合七年级考生，因为七年级所学内容为有理数与方程，这道改编题较好地关联了这两章的内容.

考题4：（全卷第24题）关于x的方程（m-1）xn-3=0是一元一次方程.

（1）则m、n应满足的条件为：m_____，n_____；

（2）若该方程的根为整数，求整数m的值.

命题赏析：这道题虽是一道陈题改编（只是简单改编了数据），但命题立意很好，一方面，兼顾了一元一次方程的概念、一般式；另一方面，也是照应七下的二元一次方程整数解、有序数对等数学概念，同时对八年级学习变量与函数也会有一定的帮助.

考题5：（全卷第25题）一商店在某一时间以每件a元（a＞0）的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%.

（1）当a=60时，分析卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏；

（2）小安发现：不论a为何值，这样卖两件衣服总的都是亏损，请判断“小安发现”是否正确，并说明理由.

思路解析：对于第（1）问，如果用小学阶段的算术解法，也可得出亏损这一结论，但是我们建议用方程的思路，可设盈利25%的那件衣服的进价是x元，则x+0.25x= 60，解得x=48.设亏损25%的那件衣服的进价是y元，则y-0.25y=60，解得y=80.（60+60）-（48+80）=-8.即亏损，总共亏损8元.

处理第（2）问时，可以延续“方程思路”.设盈利25%的那件衣服的进价是x元，则x+0.25x=a，解得x=a；设亏损25%的那件衣服的进价是y元，则y-0.25y=a，解得y=列式（a+a）所以，“小安发现”正确.

命题赏析：这道试题的第（1）问是教材例题（一元一次方程一章最后的“探究“），但第（2）问将问题引向一般，让学生演算了在一般情形下，这样做仍然是亏损的.这样的拓展设问体现了中学数学的学段特征：从特殊走向一般.

考题6：（全卷第26题）如图2，数轴上点A、B分别对应数a、b.其中a＜0，b＞0，且|b|＞|a|.

图2

（1）当a=-1、b=5时，线段AB的中点对应的数是____.（直接填结果）

（2）若点M对应着数m：

①当AM=BM，且m=2时，求2a+2b+18的值；

②当AM=2BM时，用含a、b的式子表示m.

思路解析：第（1）问是送分题，也是安排学生从特例上路.

对于第（2）①问，AM=2-a，BM=b-2，所以2-a=b-2.所以a+b=4.则2a+2b+18=26.

第（2）②问有两种可能情形，情形1：点M在线段AB上时，AM=m-a，BM=b-m，所以，m-a=2（b-m），变形，得m=（a+2b）；情形2：点M在射线AB上时，AM=m-a，BM= m-b，所以，m-a=2（m-b），变形，得m=2b-a.

命题赏析：七上最后一道大题以数轴为背景的考题不在少数，多数是以数轴上两个甚至更多的动点开展研究，设计一些运动型问题，本质上是相遇问题或追及问题，学生如果在小学时训练过这类问题，则可视为小学考题，与初中学段关系不大，特别是与七年级教学内容的关联不是很强.而这道把关题却较好地综合了数轴、数与形、字母表示数、点在直线上的位置关系、含参数的方程等七上数学概念.更值得品味的是，这道试题第（2）问研究了“当AM=BM，且m=2时，求a+b的值”这样一类重要性质.而熟悉初中循环教学的同行应该知道，我们很容易在八、九年级找到归属于这一性质的很多所谓较难试题.这里顺便链接一道九年级二次函数习题：

眺望九年级习题：已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），若+bx1=a+bx2，且x1≠x2.求证：x1+x2=2.

解析：首先解读出条件带来的是当自变量分别取x1、x2时二次函数的值相等，即a+bx1+c=+bx2+c，这样就可根据函数图像的对称性构造如下：

如图3，直线AB∥x轴，交抛物线y= ax2+bx+c（a≠0）于A、B两点，交抛物线的对称轴于M点，根据对称性，易知AM= BM，也就是它们的横坐标之间具有了xA+xB=2xM的关系.这样来看，就能快速看清上面的求证题的结构，实现证明了.

图3

二、教学导向之思

1.回归课本，研究教材，提升解题教学效益.

从上面摘引的试题可见，这份试卷中的几处把关题均源于教材、高于教材，并且呈现丰富多样的改编策略，有直接引用、改编数据；有引用背景、拓展追问；有例题选用、探究活动，又有习题与概念的考查.这些都启发和引导我们平时的教学要回归课本，而且示范了教师研究教材上例、习题的视角，为平时教学时改编例、习题带来了启发.

2.站到高处，眺望远方，给学生打开一扇窗.

从上面的考题1、考题4、考题5来看，分别呼应着学生在“未来”要学习的等比数列、从特殊到一般的数学学段特征、平面直角坐标系“中点公式”等后续数学知识.这就启示我们，在起始年级的数学教学时，不能只是带领学生在原地“空转”，要通过恰当的习题改编或拓展变式使得优秀学生能及时眺望远方.事实上，这样“为学生打开一扇窗”的命题导向，对教学上的导向也是积极的，这正启发着我们的课堂教学追求：“开放，让课堂向四面八方打开”（杨九俊语）.

1.周红娟.开放与放开：概念生成与例题变式的教学追求——从“三角形内角和”教学说起［J］.中学数学（下），2016（8）.

2.郑毓信.善于提问［J］.人民教育，2008（19）.

3.郑毓信.“开放的数学教学”新探［J］.中学数学月刊，2007（7）.

4.杨九俊.学科育德不只在说教中［J］.中国德育，2011（11）.