《微分几何》课程中基于多元评价的教学方法改进

余 静，王宏伟

(合肥师范学院 数学与统计学院， 安徽 合肥 230061)



《微分几何》课程中基于多元评价的教学方法改进

余 静，王宏伟

(合肥师范学院 数学与统计学院， 安徽 合肥 230061)

结合高师微分几何课程特点，为改变考核评价方式单一的问题，以学生为主体，设置课堂讨论、自主作业、分层作业、小组合作题等．在微分几何课程的教学中，通过对教学方法和考核评价方式两个方面的改进，激发学生学习兴趣、提高学生自主学习能力、培养学生创新意识和团队协作精神。

微分几何；教学方法；多元评价；自主学习能力

《微分几何》是数学与应用数学(本科)专业核心课、必修课，本课程的教学是数学专业基础知识的综合应用平台，要求学生充分运用微积分、线性代数、解析几何等专业基础课程的基础知识和基本思想方法来学习局部微分几何的基本概念、基本理论，能够充分体现先修基础课程的应用价值，能够有效激发学生对于本专业基础知识的再认识、再巩固，促进学生夯实专业基础，培养空间想象能力、空间分析能力和表达能力，提高逻辑推理能力，培养理论联系实际分析问题和运用数学知识解决实际问题的能力、培养良好的数学素养，并且为进一步的专业学习做准备。

结合近五年的教学实际，微分几何课程建设团队的教师逐步进行了以考核评价方式改革为基础的教学改革尝试，建构以学生为主体的学习体系，“建立相应的多元化教学评价体系，以动态、持续、弹性、灵活的评价理念和方法，对高校学生的学习过程和学习结果进行评价。 多元化评价是针对传统的评价方法进行改革的产物, 其宗旨是在对学生的学习进行评价时不能仅采用标准化测验的方式, 而应采用多种途径在非结构化的情境中评价学生学习结果的一系列评价方法。 多元化评价的理念与方法是和知识观、 教学观以及学习方式的转变相匹配的, 从当前高等教育的改革趋势来看, 重视以学为主的学习过程研究和注重学生创新能力的培养, 是高等教育为社会输出高质量人才的基本保证”[1]。

1 从单一的考核评价向多元评价过渡

作为专业核心课的微分几何课程，其考试与评价方式一度是很传统的，虽已经注意到过程评价，总评成绩=平时成绩30%+期末考试成绩70%，但是过程评价的平时成绩是按照出勤率30%、作业成绩40%、课堂表现30%给出，若是统一布置作业、课堂教学以教师主讲授课方式进行，那么，众多学生的平时成绩较少有差别，于是该课程总评成绩几乎完全取决于标准化期末闭卷考试的成绩。过程评价和能力评价并没有落实好，这与“建构以学生为主体的学习体系”的初衷是不完全相称的。

这种“静态的一次性的操作方式, 易导致高校教学中有相当一部分学生将学习的最终目的仅定位于考试成绩, 在学习方法上采取上课记笔记、下课补笔记、考试背笔记的方法, 学生习得的知识是惰性的表层知识, 学习评价的层次一般是对记忆、理解水平进行的测试。重结果、轻过程的评价方法不利于收集学生学习过程中较全面的信息, 此教学评价观对学生在学习上产生的导向不利于学生学习观的转变。”[1]

根据微分几何课程自身特点和专业人才培养要求，有必要建立好“三位一体”的评价方式(过程评价、能力评价、目标评价相结合的综合评价)，从内容单一的考核评价向多元评价过渡，从2017年起，这个转变已经明确写入我校数学与应用数学专业微分几何课程标准。

过程评价：以学生在教学活动中的参与程度作为评价的基本标准，根据考勤、课堂表现、小组讨论参与情况、作业完成情况等评定平时成绩，占总成绩40%。

能力评价：以学生运用已有的专业知识研究空间曲线曲面局部理论和解决相应几何问题的参与教学活动表现为参照，根据学生展现出的获取知识、提出问题、分析问题、运用数学知识解决几何问题的能力，影响平时成绩的评定，由任课教师动态把握。 为合理量化，需要任课教师设置讨论题和分层测验题等方法来衡量学生的能力水平。

目标评价：以课程目标作为评价的重要标准，对于空间曲线论和曲面论的基础知识、基本理论、基本方法的考核是期末闭卷测试，占总成绩的60%。

即，该课程总评成绩=平时成绩40%+期末考试成绩60%，增加了平时成绩的权重，这就要求我们在考核评价过程中采取更加多元化的评价方式，并通过课程教学各个环节来实现。

2 相应于多元化评价的教学方法改进

已有的相关文献对于单一评价方式一致持否定态度，但具体到各门课程如何落实好对学生的多元化评价则较少具体描述。相应于多元化评价，就要改进教学方法，所以教改的重点还是完善已有的教学方法、丰富增加新的教学方法、灵活使用各种教学方法，让学生参与“问题-认知-比较-讨论-探究-理解-掌握”知识内化的学习过程中，从而丰富增加过程评价的方式和机会。 以微分几何课程的教学改革为例，一些教学方式方法应用于教学各个环节，其中应用较多或成效明显的列举如下。

2.1 教师主讲和学生参与讨论相结合

“传统教学中，教师依据教学大纲按照自己的意图设计、实施教学过程，虽然承认学生的主体地位，但是这种主体仅是学生对于教师教学的自觉领会。如果学生在听课过程中因为各种原因没有这种自觉性，那么传统的教学模式就会使学生的注意力不能长时间集中，就会在某个教学环节出现懈怠，而数学专业课的特点是知识点多，一环扣一环，一旦懈怠，再跟下去的可能性就不大，即使学生想学好这门课，面对的困难也是很多的。作为教师不但要使对微分几何感兴趣的学生真正地理解这门课所传授的思维方式及方法，也要使选修这门课程的所有学生在整个学习过程逐渐喜欢上这门课程，并且要尽可能地在有限的教学时间内为学生讲授更多的内容。”[2]为改变满堂灌的课堂教学方式，2013年起，在我校微分几何课程标准编制中明确了(一般螺线、曲面的第一基本形式、可展曲面、测地线等)知识单元的授课方式为教师主讲与学生课堂讨论相结合，新修订的课程标准中，增加了更多需要学生课内外讨论的知识单元(第二基本形式、高斯曲率、测地曲率等)。即采取理论教学为主，小组讨论为辅的教学方式，采用启发、问答、讨论、发现、探究等方式，重在引导学生运用数学专业基础知识处理几何问题。 教师从学生的注意状态、参与状态、交流状态、思维状态、情绪状态、表达状态等方面去观察了解学生并随机作出适当的评价。教师采用讲授、板书、演示、提问、组织课堂讨论、小组展示、讲练结合等方法进行课堂教学，适当结合多媒体教学，注意安排师生互动环节，引导学生动脑、动口、动手，引导学生回忆、运用先修课程的知识和方法，引导学生研讨式学习，学生通过课内外小组合作、讨论、探索、给出探寻问题的方法。通过在课内外讨论，教师有机会更多倾听学生的所思所想，了解学情，便于完成更准确的过程评价，以及对教学进度和难度更准确把控，同时，能让学生对自我学习状况有较清晰的认识评价、以及形成对同学的互评，每学期中和期末分别收取学生自评、互评意见和对老师的评价建议，便于量化评价的支撑材料收集，落实过程评价和多元评价，也自然促进了教学质量的提高。

2.2 自主作业、分层作业、小组合作题相结合

通过作业练习和习题课研习，可强化基本的解题思路与典型解题方法，加强学生对所学知识的理解和应用能力，基础练习必不可少。在基础练习作业基础之上，自主作业、分层作业、小组合作题均体现以学生为主体，提供了学习内容的可选择性。

例如，开学初布置自主作业(鼓励学生查阅后整理思路准备一两分钟的阐述发言，可以利用课前十分钟进行自由汇报发言，有相应的评价记录，能反映不同学生的学习热情)：“查文献、网页，了解微分几何学发展史，了解陈省身等我国数学家、数学教育家的成就”，激发了学生学习的兴趣，亦可引起数学教育教学研究兴趣；再如，第一章曲线论中的一项自主预习作业(抽查监督完成情况，有相应的的评价记录，反映学生的自主学习态度和认知能力)：“查工具书或查找网上资料，认识、掌握双曲正弦、双曲余弦等函数及其常见性质和简图”，节省了课堂有限学时，预先避免了大量书写错误和认知错误，有利于对悬链面相关命题(与正螺面等距、旋转的极小曲面)的理解。

到后半学期，学生学习水平已经开始分化，作业布置逐渐分层(分层题计分权重有别)，有必做基础题，如简单概念题、计算题和验证性证明题，也有选做题，如综合运用题、复杂计算题和抽象定性分析证明题等。 例如，关于平面π与单位球面S的交线(C)，分三个能力层次的问题由学生选做限时完成，低难度问题一，描述交线(C)的曲率κ如何求得；中等难度问题二，沿着交线(C)的曲面S的法曲率κn如何求得，符号如何确定；相对较高难度问题三，曲面S上曲线(C)的测地曲率κg如何求得，符号如何确定。 三个问题难度不同，选做后教师批改，评分，满分10分，再按从易到难顺序依80%、90%、100%加权计分。这样的评分规则会使学生权衡自己能力水平，也促进学生挑战自我、勤于思考、勇于完成难题从而得到提升，也是对学习任务完成较好的学生的肯定和客观评价。

对于选做题，也可采用小组合作题来布置，即分组后，小组完成解题，并由小组代表展示，展示成绩为全组成员成绩(做相应评价记录)，小组活动加快了教学的节奏，加强了训练密度和广度。

自主作业、分层作业、小组合作相结合灵活运用，有利于学生自主选择难度相应的练习，有利于学生动态、持续地对自己的学习水平有更清醒的认识，也有利于评价多元化的实现。

2.3 分层答疑辅导

分层答疑辅导可以督促学习、培养习惯、答疑解惑、开展讨论、对优秀学生进行科研辅导，是延伸到课堂外的因材施教。从数学与应用数学专业2011级学生开始，我们对学生的微分几何教学中就开始了分层答疑辅导，教师课后及时、定期进行答疑，鼓励学生多提问、善提问，对学有余力的学生引导启发，辅助其进行拓展研究学习，其中有七位学生组队参加校科技创新大赛，并提交论文，获得资助奖励，相应在学生综合评价中得到体现。 同时，在本专业2015届、2016届级也有学生选取微分几何课程相关内容为毕业论文选题进行研究，近几年来，更有选择微分几何为读研方向的毕业生。 对于熟悉数学软件应用的学生，注意引导其可尝试根据一些特殊的等距对应曲面间的变换，编程作图展示。“应该在本科教学中进一步加强微分几何的教学,并通过多种方式改进教学效果。 在这个教学平台上，帮助学生体会“数”与“形”的巧妙结合,促进他们在“数”——逻辑思维能 力与“形”——直觉思维能力的全面发展。”[3]

总之，相应于评价多元化的教学方法改革灵活多样，我们应该根据教学内容，进行不断地挖掘和创新，不是用期末考试的静态分数来衡量学生学习水平的高低，而用发展的眼光来看学生，学会欣赏学生，为学生提供自由发挥的空间。也让数学与应用数学专业学生，尤其是本专业师范生体验多元评价，还可以丰富开展学生自评、学生互评、小组评、阶段性学习评价、辅导员评价等形式，让学生敢于评价、善于评价、勤于评价、乐于评价，用动态教学评价有效地促进学生自主学习能力的发展，促进优化教学方式方法，落实教学内涵建设，提升教学质量，以期教学达到更好的效果。

[1] 张筱兰．高校学生学习的多元化评价的理念与方法[J]．高等理科教育， 2003，(5) :65-68．

[2] 李明，刘龙．研究性教学模式在微分几何课程中的应用[J]．高师理科学刊，2015， (8)8):78．

[3] 孙和军,赵培标,陈大广．微分几何的教学地位与方法[J]．高等数学研究，2011，14(1) :101-103．

[4] 于海鸥，姜淑珍．微分几何教学改革探讨[J]． 河池学院学报， 2009，( 8) :96 -99．

[5] 周建伟．微分几何[M]．第1 版．北京:高等教育出版社，2008．

[6] 梅向明，黄敬之．微分几何[M]．第4 版．北京:高等教育出版社，2009．

[7] [美]John Oprea．微分几何及其应用[M]．陈智奇，李君，译． 北京:机械工业出版社， 2006．

The Improvement of Teaching Method Based on Diversifies Evaluation in Teaching of Differential Geometry

YU Jing， WANG Hongwei

(SchoolofMathematicsandStatistics，HefeiNormalUniversity，Hefei230061，China)

According to the characteristics of differential geometry in Higher Normal Colleges, for changing the single evaluation methods, we have set class discussion, independent work, hierarchical operation, group cooperation based on the student-centered conception. Through the improvements of the two aspects about teaching methods and evaluation methods, students will be able to stimulate interest in learning, to improve self-regulated study ability and to cultivate innovative consciousness and team cooperation spirit.

Differential Geometry; teaching methods; diversified evaluation; self-regulated learning ability

2017-02-10

合肥师范学院本科教学工程项目(2013hxk20);合肥师范学院院级科研项目(2016JCJY007)资助

余 静( 1971-) ，女，安徽芜湖人，副教授，理学硕士，主要从事数学教育和几何学研究。

G652

B

1674-2273(2017)03-0001-04