基于课程资源视角的“说数学”活动案例探究*

基于课程资源视角的“说数学”活动案例探究*

☉广东省广州市铁一中学 钟进均 于晓闻

一、引言

《普通高中数学课程标准》（实验）（简称“标准”）在“课程目标”中明确指出，提高数学地提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力［1］，数学表达和交流能力，发展独立获取数学知识的能力.1981年英国《Cockcroft报告》指出，教数学的主要理由在于“数学提供了有力的、简洁的和准确无误的交流信息的手段”［2］.可见培养和提高学生的数学交流能力十分必要.数学交流可分为口头交流和书面交流.“说数学”［3］属于前者，是指个体用口头表达自己对数学问题的具体认识、理解，解决数学问题的思路、思想和方法以及数学学习情感、体会等的数学学习活动.它包括“说知识”、“说过程”、“说异见”和“说体会”.它们分别指口头表达具体的数学知识，个体解决某数学问题的过程，口头表达个体对数学问题的结果的不同看法，个体探究某数学问题后的情感体会.

课程资源也称教学资源［4］，就是课程与教学信息的来源，或者指一切对课程和教学有用的物质和人力.长期以来，我国的课程资源的来源单一，开发主体、实施空间、资源内容等方面的发展也较为落后.广大一线教师极少参加课程资源开发，较多依赖教材和教学辅助资料；实施空间仅仅将教学局限于课堂；内容往往偏重于知识特别是学科知识的开发，忽视对学生能力、素质的培养，内容结构单一，不利于学生的发展.

“说数学”是一种开发与拓展课程教学资源的教学方式.笔者立足教学实践，运用案例研究法对“说数学”活动案例从课程资源开发与拓展的角度展开了探究.

二、基于课程资源视角的高中说数学活动案例探究

案例是指包含有某些决策或疑难问题的教学情境故事，这些故事反映了典型的教学思考力水平及其保持、下降或达成等现象；是对个体对象、决策行为、或对某个实践中发生的情景的真实描述.案例研究需遵循的原则有：①典型性原则：以小见大，反映出某一类事物或教育活动的基本共性.②真实性原则：所描述的是已发生的事实，不虚构.③个性化原则：案例所描述的事件要有一定的特性.④启发性原则：所描述的事件有一定的冲突，使人产生认知上的不平衡，引发人们深思.⑤创造性原则：符合新课程提倡的教学理念，用新的思考方法、新的观点去分析研究，得出新的结论或发现新的规律.⑥理论联系实际的原则：描述的是一个实践的过程，但反映的却是理性的问题.

（一）案例描述

笔者任教于广东省国家级示范性高中，生源水平较好，学生的学习动力足，数学基础较好.在平时教学中，笔者经常采用“说数学”教学方式进行教学，鼓励学生大胆“说数学”，课堂气氛活跃、民主.以下案例来自高三理科数学复习课，具有典型性、真实性、启发性和创造性.为了确保案例的真实性，以下师生的对话尽量保持原形.

一次数学连堂课给笔者留下了十分深刻的印象.在数学测试卷上有一道题（该卷共有12个小题，此题为第11题）：已知矩形ABCD的边AB=4，AD=1，点P为边AB上一动点，则当∠DPC最大时，线段AP的长为（）.

A.1或3B.1.5或2.5

C.2D.3

图1

笔者在讲评该测试题时先在黑板上作出图1，然后在黑板上边分析题目，边板书解题过程，具体如下（记为“方法1”）：如图1，设AP=x，则PB=4-x.因为ABCD是矩形，所以∠PAD=∠CBP=90°.在Rt△DPA中，tan∠APD==

所以tan∠DPC=tan［π-（∠CPB+∠APD）］=-tan（∠CPB+∠APD）=

所以当x=2时，∠DPC最大.因此，答案为C.

在讲解完上述方法1之后，笔者问全班学生：“此题还有其他解法吗？”.没有学生提出意见.笔者问：“大家看看这条件‘矩形ABCD’，你会想到什么方法？”.笔者见到仍无学生想到其他方法，就提示说：“坐标法.”此时，有多个学生说：“对哦！”笔者问：“那该如何做啊？”平时成绩处于中上水平的学生Z说：“老师，我知道怎么做了，让我来给大家讲讲吧，可以吗？”笔者说：“好的，你在黑板板书出来，讲解一下.”学生Z在黑板上很快写下了解题过程，具体如下（记为“方法2”）：以A为原点，分别以AB，AD所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系.设AP=λ，则有P（0，λ），D（1，4），C（1，0），所以=（1，4-λ）=（1， -λ）.故cos∠然，学生Z停下来，思考片刻后转身看着全班同学说：“我往下不知道如何做了，不会化简.”显然，①式的化简比较麻烦，运算量偏大.笔者对全班学生说：“Z同学的解答思路完全正确！坐标法应用于解答平面几何问题比较常见.ABCD是矩形为建立平面直角坐标系带来了方便.至此，本方法能否继续往下做并得出最终解答，我不敢肯定.若继续往下做，则需较强的代数式变形技能.至此，问题已转化为求以λ为自变量的函数最值问题.盼望各位要重视运算变形的训练.请大家课后继续完成后续解题过程，看看能否求出最终解答.”当时比较多学生对方法2都做了笔记.之后笔者继续讲评其他试题.出乎笔者意料的是，大约过了20分钟，在即将下课的时候，平时数学成绩特别优秀的男生W对笔者说：“老师，我将刚才的方法2的解答求出来了，这方法确实可得出解答的.”笔者说：“太好了！你拿来给我看看，并讲解给我听.”此时，下课了.笔者安排学生下课休息.在课间，笔者看着男生W做在草稿纸上的解答，听着他在旁边认真讲解具体如下令x=（λ-2）2，则cos∠DPC=因为函数y=cosx在［0，π］上为减函数，所以要∠DPC最大，则需要最小，即要（x-3）2+16最小.因为λ∈［0，4］，所以x∈［0，4］，所以当x=3时，cos∠DPC的最小值为0，也就是当λ=2，即AP的长为2时，∠DPC最大.看到这里，笔者认为该解答基本上没什么问题.此时，上课铃响了，笔者请学生W到黑板详细写下上述解答，再面向全班同学讲解了一遍.突然，平时爱发问的女生H问：“我看不懂你怎么将cos∠DPC进行转化的，你是如何想到要如此做的呢，这么烦琐？”笔者说：“对！请W具体介绍你是如何想到这样做的.”学生W接着继续在黑板上边板书边讲解：“分母（λ2-8λ+17）（1+λ2）=λ4-8λ3-18λ+17=［（λ-2）2］2-6（λ-2）2+25.（*）”笔者追问：“你怎么想到将λ4-8λ3-18λ+17转化成［（λ-2）2］2-6（λ-2）2+25的呢？这么复杂的式子！”W边写边说：“［（λ-2）2］2=λ4-8λ3+24λ2-32λ+16，（**）又（λ-2）2=λ2-4λ+4.我对比λ4-8λ3+18λ2-8λ+17和（**），就容易想到-6（λ-2）2=-6λ2+24λ-24，（***）到此，（*）就可配凑得到了”.此时，教室里响起了热烈的掌声.个别学生自发地说：“太厉害了！”笔者说：“很有道理.我自己也很难做得有你如此优秀啊，佩服佩服！这么烦琐、复杂的问题都被你解决了，有何感受体会啊？”学生W说：“我自己之前没有想过用老师介绍的这坐标法去解.在上一节课老师提到了这个方法，确实入手很容易的.可是老师说到了，往下很难转化来求出最值.我就尝试去做一做，难度真的很大，有挑战性.不过我坚信这方法一定能求解到解答的.还有，如果真的做不出来，我就考虑求导的方法了，只是对cos∠DPC求导更加烦琐了.在做的过程中，我也想过放弃，觉得很烦琐的，但内心又有点不甘.我按照老师以前教的方法和思路去做，不断想办法将分子化成常数；只要做到如此，那就一定能求出结果的.通过这一解题过程，我内心很高兴的，感到很自豪，挑战了一下自己，挺爽的，执着很重要！”笔者接着说：“学生W一直都是我们班的数学成绩很优秀的同学.大家很容易看到他对数学很执着，不畏难，不轻易放弃，很值得大家学习！我们再用掌声感谢他.”至此，这习题的讲解结束了，共耗掉了至少25多分钟.

（二）案例分析

1.说数学是一种创造交流性课程资源的教学方式

“交流”就是“互相沟通”［6］.说数学是学生之间、教师与学生之间进行知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观等交流的重要渠道.从知识的表征角度看，“数学知识可分为陈述性知识、程序性知识和过程性知识等三类.陈述性知识是关于事实的知识，是人所知道的有关事物状况的知识.程序性知识是关于人怎样做事的知识，即由完成一件事所规定的程序、步骤及策略等组成的知识”，“过程性知识是伴随数学活动过程的体验性知识.它是一种内隐的、动态的知识；没有明确地呈现在教学材料中，而是隐性地依附于学习材料，在学习的过程中潜在性地融会贯通；始终伴随着知识的发生和发展过程，学习者只能在学习的过程中去体验，体现出过程性知识的动态性”［7］.

通常，数学教师非常重视课本、练习册、习题卷和作业本等教学资源的选取和使用.课本是数学教学的重要资源和工具.批改作业（含练习册、习题卷和作业本）是师生之间进行知识性交流的重要方式.传统的作业较多呈现的是学生的陈述性知识和程序性知识情况，较少反映学生的过程性知识情况，也就是让老师知道学生的解答是否正确，但无法得知“对”与“错”的背后的“艰苦付出”和体会.许多老师在课堂上通过提问与学生交流，较多关注学生所回答的具体知识（结果）或者解题过程是否准确，而较少关注这些“结果”是如何得来的，也就是，教师开发交流性资源的意识不足.

上述案例，笔者介绍完方法1之后，故意设计了一个环节：提出另外的解题方法（努力方向），但是没有给出具体解答过程；考虑到这个班的数学基础较好，让学生课后去尝试求解出答案.想不到学生W“抓住不放”，在课堂上认真地完成了后续解答，笔者积极鼓励他在讲台上呈现自己的解题过程，鼓励其他学生发问，使得数学课堂充满了数学交流：既有师生之间的交流，也有学生与学生之间的交流.在回答其他学生的发问过程中，W非常具体地说出了自己的思维历程（“说过程”）.在同学和老师的追问下，W说出了自己的解答过程中的每一步是如何得来的（“说过程”）.因此，学生们从W的板书学习到了“陈述性知识”，从他的“说”学习到了“程序性知识”.在笔者的启发引导下，W说出了自己克服困难，不懈努力去转化cos∠DPC的表达式，最终成功求解的感想和体会（“说体会”），亦即W“说”出了“过程性知识”.从而，W的“写”与“说”相结合，边“写”边“说”，在“写”的基础上再用“说”来补充与提升，促进了他与老师、其他学生之间的交流.客观地说，如果上述方法2的解答，如果没有W的“说”，确实不易理解，也正是W的“说”表明他对这问题及其解答的认识十分深刻.可见，“说数学”创造了数学课堂的交流性课程资源，不仅交流了知识（陈述性知识和程序性知识），还交流了感想和体会（过程性知识）.

2.说数学有助于拓展反思性课程资源

“拓展”是指“开拓扩展”［6］.反思是指思考过去的事情，从中总结经验教训.反思性课程资源是指能促进师生进行反思的课程资源，对学生而言，主要是对自身数学学习情况的反思；对教师而言，主要是对数学教学情况的反思.反思性数学学习就是学习者对自身数学学习活动的过程，以及活动过程中所涉及的有关材料、信息、思维、结果等学习特征的反向思考.教学需培养学生的反思意识，让学生形成反思习惯.传统的反思性学习资源较多是课本、测试卷、作业等.这些资源较多反映“结果”，难以反映“过程”和“体验”.因此拓展反思性资源很有必要.

在上述案例中，学生Z写下了方法2的前面部分解题过程，无法将①进行化简求出最值，引发了他和其他学生的反思：一是这方法及其解答过程和方法1的区别在哪里；二是①式有错误吗，为什么求不出最值呢？学生W的解答引起了女生H的发问，促进了学生W的深入反思.学生W的“说过程”和“说体会”必需他本人充分反思解题过程、结果以及体验，否则无法说出来.“说数学”促进了学生从解题结果到过程（含思想方法），再到体验的反思.因此，“说数学”有助于拓展反思性课程资源.

3.说数学能开发拓展性课程资源

“说数学”是一种开发拓展性课程资源的教学方式，主要是指以下两个方面：

第一，“说知识”可以是对课本知识（或课堂内容）的延伸、拓展.上述案例中的方法2就是对课堂内容的延伸和拓展，与笔者详细讲解的方法1完全不同.方法1从正切函数及其变换角度切入，构造函数，接着转化为二次函数再讨论其最值；方法2先建立平面直角坐标系，得到点的坐标，然后将线段的夹角转化为向量的夹角来求解，计算量增大，恒等变形的技巧性增强，而“坐标法”是一种十分重要的几何问题求解方法.因此，通过“说”方法2，就学生而言，无论是“说者”还是“听者”都加深了对案例中的问题本身及其解法的认识.

第二，“说数学”开发了课程评价资源.课程评价是教学的重要组成部分.教师要高度关注学生数学学习的情感、态度与价值观，而学生的情感、态度与价值观往往是隐性的，伴随在数学学习过程当中.长期以来，教师如何更好地培养学生正确的数学学习情感、态度与价值观，是一个很值得深入研究的课题.“说数学”是实施数学教学评价的重要方式之一［9］，能拓展评价内容和方式.正如前面所述，学生W仅提供详细的书面解题过程，其他学生甚至老师都未必能理解.如果没有W的“说”，仅看其书面解答结果，那么我们就无法知道其解题思维历程和心理体验.正是“说知识”、“说过程”和“说体会”，让W的情感、态度与价值观尽量显性化，让教师有机会对其给予激励性评价.所以，“说数学”开发了拓展性课程评价资源.

三、结束语

“说数学”［10］是一种老师引导、参与开发校本数学课程资源的教学方式.笔者在长期的“说数学”实践中收集了不少案例，也就积累了许多宝贵的教学资源.创设机会让学生“说数学”其最大意义和价值在于引导和促进教师和学生真正从基于教科书的教与学转向基于数学课程资源的教与学.课程资源的开发对教师提出了新的专业能力要求［11］，譬如，我们应该如何开发优质课程资源更好服务于培养学生的数学核心素养，就很值得深入探究.

1.叶尧城.高中数学课程标准教师读本［M］.武汉：华中师范大学出版社，2003，9.

2.范良火译.数学算数—英国学校数学教育调查委员会报告［R］.北京：人民教育出版社.1994.

3.钟进均.在高中数学教学中开展说数学活动的实验研究［J］.数学教育学报，2008，17（5）.

4.张廷凯，丰力.校本课程资源开发指南［M］.北京：人民教育出版社，2004，1.

5.郑金洲.教育研究专题［M］.上海：华东师范大学出版社，2002，3.

5.钟进均.在高中数学教学中开展数学交流活动的实验研究［D］.云南师范大学，2008.

6.商务印书馆次数研究中心.新华词典［M］.北京：商务印书馆，2001，4.

7.喻平.数学教育心理学［M］.南宁：广西教育出版社.2004.8：.

8.涂荣豹.试论反思性数学学习［J］.数学教育学报，2000，9（4）：.

9.钟进均.高中“说数学”的过程性评价探究［J］.中学数学教学，2010（6）：6-9.

10.钟进均，刘仁森.基于需求层次理论的“说数学”案例探究［J］.中学数学（上），2015（6）.

11.钟进均.基于课程资源视角的数学日记探究［J］.中国数学教育，2013（6）.

*本文为广州市教育科学“十二五”规划课题《基于认知心理学视角的高中说数学活动案例探究》（课题批准号1201542650）和广州市教学成果培育项目《基于课程资源视角的数学日记探究》（M2015A077）的阶段性研究成果.