学习椭圆的一点体会

涂崇斌

椭圆的定义是第一次接触圆锥曲线的定义，它对今后的双曲线、抛物线起着示范作用，下面谈谈在学习过程中的几点体会.

课堂上，老师首先提出卫星轨道问题、海尔·波特彗星的出现的时间问题、油罐箱的平面图问题、圆锥被一个平面所截得到的截面等等，引起了我们思考和探索的兴趣；然后用一根细绳实际操作，画出图形，从而引出椭圆的定义——到两个定点距离和为定值（大于两点的距离）的点轨迹是椭圆；最后提出怎样从数学理论上求得曲线的轨迹方程呢？

按照求轨迹的五个基本步骤：（1）建系设点，（2）列出几何条件，（3）坐标化，（4）化简，（5）检验.

建系的标准是好操作，计算简洁，方程看起来简洁优美，同时将数学的对称性体现出来，从而让我们体会到学习数学的乐趣.

设坐标[F1（-c，0）]，[F2（c，0）].

找满足的关系式：[|PF1|+|PF2|=2a].

即[（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a].

即[（x+c）2+y2]=[2a-][（x-c）2+y2].

即[（x+c）2+y2=4a2-4a（x-c）2+y2+（x-c）2+y2]

即[a（x-c）2+y2=a2-cx].

再平方整理得，[（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）].

为计算简便，令[b2=a2-c2]，[b2x2+a2y2=a2b2]，[x2a2+y2b2=1]. 得到一个非常好看的曲线方程.

这就是椭圆的标准方程：[x2a2+y2b2=1].

在化简过程中，发现如果两边同除以[a]，会得到

[a（x-c）2+y2=a2-cx]

[?（x-c）2+y2=a-cax=ca（a2c-x）]

[?（x-c）2+y2a2c-x=][ca.] （1）

（1）式的几何意义是什么呢？

思考后得出结论：到一个定点的距离与到一条定直线[x=a2c]的距离的比值为定值[ca]，其轨迹是椭圆.

再挖掘下去呢？在这个过程中再看看.

[b2x2+a2y2=a2b2?a2y2=a2b2-b2x2?y2=b2-b2a2x2=b2a2（a2-x2）?y?y（a+x）（a-x）=b2a2?ya+x?ya-x=b2a2]

[?yx-（-a）?yx-a=-b2a2.] （2）

（2）式的几何意义又是什么呢？

动点[（x，y）]到两个定点[（-a，0）（a，0）]的斜率之积为常数，此常数[∈-∞，-1?-1，0].

由此引申出常见轨迹为椭圆的三种形式.

1. 平面上到两个定点的距离和等于定长的点的轨迹是椭圆. （定长>两点间的距离）

2. 平面上，到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比为定值（[0

3. 平面上，到两个定点的斜率之积为常数（常数[∈-∞，-1?-1，0]）的点的轨迹是椭圆.

于是前面的问题得到了解释. 为什么每隔76年可看到彗星出现？怎么样预测时间？原来其轨迹是一个椭圆，结合物理知识，预测时间就不成问题了.

用一个与圆锥、圆柱的母线斜交的平面截圆柱， 得到一条截口曲线，截口曲线为什么是椭圆，其原因是它满足椭圆的定义.

再回归课本得到常见轨迹为椭圆的几种常见题型：

1. 一动圆与圆[M：]x2+y2+6x+5=0外切， 同时与圆[N：]x2+y2-6x-91=0相切，求动圆圆心的轨迹方程.

2. 圆[M：][（x+3）2+y2=16]， A[（3，0）]，P是圆上任意一点. 线段AP的垂直平分线l和半径MP相交于点Q，当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹.

3. 如下图， 矩形ABCD中， |AB|=8， |BC|=6， E，F，G，H分别是矩形四条边的中點， R，S，T是线段OF的四等分点， R′，S′，T′是线段CF的四等分点. 证明：直线ER与GR′，ES与GS′，ET与GT′的交点L，M，N都在椭圆[x216+y29]=1上.

原来平常的一个数学式子可以挖掘出这么多知识！只要认真钻研课本，理解原始定义，前后贯通，严谨推理，细心计算，就可以让我们体会数学的奥秘！