圆锥曲线（轨迹）方程的求法

刘坚++吴自强

直接法

例1 已知三点[O（0，0），A（-2，1），B（2，1），]曲线[C]上任意一点[M（x，y）]满足[|MA+MB|=OM?（OA+OB）+2]. 求曲线[C]的方程.

解析 由题意得，[MA=（-2-x，1-y），][MB=（2-x，1-y）].

所以[|MA+MB|=（-2x）2+（2-2y）2，]

[OM?（OA+OB）=（x，y）?（0，2）=2y].

由题意得，[（-2x）2+（2-2y）2=2y+2].

化简得，曲线[C]的方程为[x2=4y].

解读 本题以平面向量为载体，通过向量的代数运算，求出动点所满足的方程（或等式），化简之后即可得到轨迹方程，此法称为直接法. 注意：化简时，一定要具有等价性.

定义法

例2 已知圆[M]：[（x+1）2+y2=1]，圆[N]：[（x-1）2+y2=9]，动圆[P]与[M]外切并且与圆[N]内切，圆心[P]的轨迹为曲线[C]. 求曲线[C]的方程.

解析 由题意得，圆[M]的圆心为[M]（-1，0），半径[r1=1]；圆[N]的圆心为[N]（1，0），半径[r2]=3. 设动圆[P]的圆心为[P（x，y）]，半径为[R].

∵圆[P]与圆[M]外切，且与圆[N]内切，

∴[PM+PN=（R+r1）+（r2-R）=r1+r2=4].

由椭圆的定义可知，曲线[C]是以[M，N]为左右焦点，实半轴长为2，短半轴长为[3]的椭圆（左顶点除外），其方程为[x24+y23=1（x≠-2）].

解读 通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫作定义法. 运用定义法，求其轨迹，做到以下两点：一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等；二要熟练掌握平面几何中的一些性质定理. 此种方法在高考中经常出现，如2016年全国卷I的第20题，就是这种类型.

相关点法

例 3 设点[A]是单位圆：[x2+y2=1]上的任意一点，[l]是过点[A]与[x]轴垂直的直线，点[D]是直线[l]与[x]轴的交点，点[M]在直线[l]上，且满足[DM=mDA][（m>0，][且m≠1）.] 当点[A]在圆上运动时，记点[M]的轨迹为曲线[C].求曲线[C]的方程，判断曲线[C]为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标.

解析 如图，设[M（x，y）]，[A（x0，y0）]，

由[DM=mDA（m>0，且m≠1）]得，

[x=x0，y=my0].

所以[x=x0，y0=1my].①

因為点[A]在单位圆上运动，所以[x02+y02=1].②

将①式代入②式得，所求曲线[C]的方程为[x2+y2m2=1（m>0，且m≠1）.]

因为[m∈（0，1）?（1，+∞）]，

所以当[01]时，曲线[C]是焦点在[y]轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为[（0，-m2-1），（0，m2-1）.]

解读 用相关点法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动点，另一个是被动点. 例如本题中的点[A]是主动点，点[M]是被动点. 当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可用相关点法求其轨迹方程：（1）某个动点[A]在已知方程的曲线上移动；（2）另一个动点[M]随点[A]的变化而变化；（3）在变化过程中点[A]和点[M]满足一定的规律.

参数法

例4 过抛物线[y2=2px（p>0）]的顶点[O]作两条互相垂直的弦[OA]，[OB]，再以[OA]，[OB]为邻边作矩形[AOBM]，如图，求点[M]的轨迹方程.

解析 设[M（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2）]，

[OA]的斜率为[k]（显然[k≠0]），则[OB]的斜率为[-1k].

[OA]所在直线方程为[y=kx].

代入[y2=2px]得，[x1=2pk2，y1=2pk]，即[A（2pk2，2pk）].

[OB]所在直线方程为[y=-1kx]，代入[y2=2px]得，[x2=2pk2，y2=-2pk，]即[B（2pk2，-2pk）].

[∴OB=（2pk2，-2pk），OA=（2pk2，2pk）].

[OM=OA+OB=（2pk2+2pk2，2pk-2pk）].

所以[x=2p（1k-k）2+4p，y=2p（1k-k）.]

消去[（1k-k）]得，[y2=2p（x-4p）（p>0），]即为点[M]的轨迹方程.

解读 在利用参数法求解时，要选择合适的参数，并注意参数的取值范围. 同时，求轨迹方程的关键是消参.

例5 如图，椭圆方程为[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]，[O]为坐标原点，[A]，[B]两点均在椭圆上，且[OA⊥OB，OH⊥AB]于点[H]，求点[H]的轨迹方程.

解析 设[OA=r1，OB=r2]，[∠AOx=θ，]设[H（x，y），]

[则A（r1cosθ，r1sinθ），][B（r2cos（π2+θ），r2sin（π2+θ））].

[∵A，B]均在椭圆上，

[∴r21cos2θa2+r21sin2θb2=1，r22sin2θa2+r22cos2θb2=1.]

[∴1r21=cos2θa2+sin2θb2，1r22=sin2θa2+cos2θb2.]

相加得，[1r21+1r22=1a2+1b2.]

又在[Rt△AOB]中，利用面积相等得，

[12r1r2=12OH?AB].

[∴OH2=r21r22r21+r22=a2b2a2+b2].

[∴][x2+y2=a2b2a2+b2].

[∴]点[H]的轨迹方程为[x2+y2=a2b2a2+b2].

解讀 此题利用三角函数的定义，巧妙设置参数，大大简化了运算量，这种技巧要多积累.

交轨法

例6 如图，椭圆[C0：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]，[a，b]为常数，动圆[C1：x2+y2=t12]，[b

解析 设[A（x1，y1），]由对称性可知，[B（x1，-y1）.]

又[A1（-a，0），A2（a，0），]

则直线[A1A]的方程为[y=y1x1+a（x+a）]，①

直线[A2B]的方程为[y=-y1x1-a（x-a）].②

由①②得，[y2=-y21x21-a2（x2-a2）].③

又点[A（x1，y1）]在椭圆[C0]上，故[x21a2+y21b2=1].

从而[y21=b2a2（a2-x12）].

代入③得，[x2a2-y2b2=1][（x<-a，y<0）]，即为所求轨迹方程.

解读 交轨法求轨迹方程，一般用于求两动曲线交点的轨迹方程，其过程是选出一个适当的参数，求出两动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式，再消去参数，即得所求动点轨迹的方程.

待定系数法

例7 设椭圆[E]的方程为[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]，点[O]为坐标原点，点[A]的坐标为[（a，0）]，点[B]的坐标为[（0，b）]，点[M]在线段[AB]上，满足[BM=2MA]，直线[OM]的斜率为[510].

（1）求椭圆[E]的离心率[e]；

（2）设点[C]的坐标为[（0，-b）]，点[N]为线段[AC]的中点，点[N]关于直线[AB]的对称点的纵坐标为[72]，求椭圆[E]的方程.

解析 本题主要考查椭圆、平面几何的性质，第（1）小题用待定系数法求椭圆的方程，第（2）小题可将已知条件转化为方程组求解.

（1）如图，由题意得，点[M]的坐标为[（2a3，b3）]，

又[kOM=510]，

即[b2a=510]，即[a=5b]，所以[c=a2-b2=2b]，

故[e=ca=255.]

（2）由题意和（1）的计算结果可得，直线[AB]的方程为[x5b+yb=1]，点[N]的坐标为[（52b，-b2）].

设点[N]关于直线[AB]的对称点[S]的坐标为[（x1，72）]，

则线段[NS]的中点[T]的坐标为[（54b+x12，-b4+74）].

又点[T]在直线[AB]上，且[kNS?kAB=-1]，

从而有[54b+x125b+-b4+74b=1，72+b2x1-5b2=5.]

解得，[b=3]，所以[a=35].

故椭圆[E]的方程为[x245+y29=1].

解读 本题以椭圆的性质和平面几何的知识为依托，将方程中的系数与直线的斜率和对称问题联系在一起，充分考查了平面几何的知识和数形转化的思想.