厚度 宽度 深度：数学活动经验需要审视的三重维度

吕程+++李洵

【摘 要】当下对数学基本活动经验的研究，陷入了教育理论和实践探索的两难。要破解这一难题，首先应该正确把握数学活动经验的内在本质。在此基础上，从以下三个方面在教学中加以落实：1.在反复经历的过程中，增加学生数学活动经验的厚度；2.关注不同能力的学习者的活动体验，拓展数学活动经验的宽度；3.充分经历推理的过程，加深数学活动经验的深度。

【关键词】数学活动经验 三重维度 厚度 宽度 深度

在数学教育史上，传统的“双基”教学影响了我国几代人的成长，然而《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）中在原有“双基”的基础上，拓展为了“四基”，即“基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”。其中《课标》中，明确提出了相应的课程理念，即“教师教学应该以学生认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教……使学生理解和掌握基本的数学知识与技能，体会和运用数学思想与方法，获得基本的数学活动经验”。[1]可见，基本活动经验的提出，是新课标中重要的变化之一，同时学生活动经验的积累也是当前一线教学中重要的教学目标之一，正因为此，关于数学活动经验的研究至今仍是热点问题。

“数学活动经验”在《课标》中提出，已有四年，那么一线的数学教师是不是真正提升了有关数学活动经验的认识，从而更好地指导教学实践了呢？基于一线教师的问题，数学活动经验又该如何去真正认识，从而更有利于学生能够更好地获得数学活动经验呢？笔者将在教育理论和实践的层面，试图从数学活动经验的三重维度，来进一步探讨教师如何正确认识数学活动经验，以及如何促进学习者获得数学活动经验的有效策略。

一、困惑：数学活动经验的理论与实践探索的两难

（一）教师有数学活动经验的培养意识，但实践困难

从当前一线教学的层面来看，有研究者对当前小学数学教师数学活动经验的教学情况做过调查研究。[2]从收集的数据来看，有97.9%的教师认为教学中需要重视数学活动经验的发展程度，有79.5%的教师了解数学活动经验的作用。可见数学活动经验对于学生数学学习的重要程度，已被一线教师认可，并且对数学活动经验有所认知。可另外一组数据就不那么乐观了，有62.7%的数学教师认为在实际的日常教学中去培养小学生的数学活动经验比较困难，甚至无从下手。从以上一组数据来看，在实践层面，数学活动经验的相关研究成果并未转化为教师指导实践的有利手段。

（二）数学活动经验的研究成果众多，但未及本质

从中国知网的文献搜索结果来看，有关数学活动经验的研究多达443篇。从文献的数量角度，也反映了数学活动经验受到了众多教学研究人员、一线教师的广泛关注。对于数学活动经验的相关教学，涌现了不少颇有价值的想法。如：吴正宪认为教师需要帮助学生在数学活动探索、解决问题的过程中不断积累数学活动经验；[3]贲友林认为数学活动经验不仅可以在学生的亲自体验中获得，同时可以在替代性经验中获得；[4]郭青松以“图形与几何”领域为例，让学生在“经历”到“经验”的过程中获得数学活动经验；[5]宋煜阳以等积变形问题为例，谈到过程性则是数学活动经验积累的根本原则。[6]类似的研究，或结合课例，或以某个数学领域为例，或以某个数学问题，给一线教师提供了一些操作性的建议。但从这些文献来看，都出现了一个值得商榷的问题，即都避谈了什么是数学活动经验而去研究怎样积累数学活动经验。简言之，抛开了数学活动经验的本质，去思考教学实践问题，从一定层面上来说，让数学活动经验的研究走向了一个误区。

二、思源：数学活动经验本质的再认

笔者的研究团队在对多地教研人员和一线教师的访谈中发现，当前数学活动经验研究的两难问题，究其原因在于数学活动经验的本质未被一线教育者所明确。又因为对于数学活动经验的不同理解，从而衍生出了不同的对数学活动经验积累的操作性建议，以至于出现了对数学活动经验教学盲從的当下局面。

回归《课标》，笔者发现第四部分实施建议中，提及了“数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志”“帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标，是不断经历、体验各种数学活动过程的结果”。看来《课标》未明确涉及数学活动经验的本质。再通过对《课标》解读来看，提到了对数学活动形式的阐述，如观察、试验、猜测、验证、推理与交流等，要求学生能将相关的经验迁移运用到后续的数学学习中去[7]。由此可见对《课标》的解读也未进一步明确数学活动经验本质是什么，如何去正确认识。但是笔者在《课标》（实验稿）中找到了有关数学活动经验本质的线索。在《课标》（实验稿）中提到数学知识包括数学事实和数学活动经验。可见，数学活动经验是一类知识。笔者的研究团队，经过多年来的教学实践和与多位资深数学教育专家的交流，得出结论：数学活动经验的本质是一种具有过程性、个体性、实践性的隐性知识。同时根据数学活动的存在形式的划分，数学活动经验可以分为数学操作活动经验（以下简称操作经验）和数学思维活动经验（以下简称思维经验）。在之前的研究中，笔者提出了思维经验应当在教学实践中被作为数学活动经验的内在精髓，[8]随后史宁中先生也以思维经验为研究对象，对初中学生数学基本活动经验进行了进一步的量化研究。[9]至今有关思维经验的研究仍被作为研究数学活动经验的热点问题。

三、突围：基于数学活动经验本质的教学建议

通过上述的研究，笔者将在数学活动经验的本质特征的前提下，从理论和实践的角度，去进一步探讨如何帮助学生积累数学活动经验。

（一）在反复经历的过程中，增加学生数学活动经验的厚度

[案例一]三年级数学活动课“对折问题”

师：老师这里有一张和黑板上一样的纸条，你会对折吗？谁来帮老师对折一下？咱们先想象一下，对折打开，会把这张长方形纸条怎么样呢？

生（小结）：对折就是把长方形纸条平均分成了2份。

师：那同样的纸条，我们把刚才对折后的纸条，再对折，也就是对折了几次？（两次），长方形纸条平均分成了几份呢？估一估。到底是不是这样，看来还得动手折，验证一下。

生（小结）：对折再对折，就是把纸条平均分成了4份。

师：那么接下去，你们知道老师会提什么问题吗？

生：对折3次，平均分成了几份。（师折，学生先不折）

师（追问）：先想一想，对折3次平均分成了几份呢？谁来猜一猜？

师：看来意见不统一，怎么办？

生自己折一折，验证。

生猜后，汇报交流。

小结：对折3次其实就是把长方形平均分成8份。

师：回过头来看，把纸条平均分成2份，我们是怎么折的？平均分成4份，怎么折的呢？8份又是怎么折的？（随机板书）

师小结：看来对折和我们学过的什么知识有关啊？（板书：平均分）

师：对折1次，平均分成了2份；对折2次，平均分成4份；对折3次平均分成8份……观察一下，对折两次的前后份数变化，有没有什么规律啊？

生（总结）：对折前的份数，是对折后份数的一半。

这是在学习完三年级“平均分”之后的一堂校本数学活动课，本堂课让学生在经历折纸的过程中，去感悟折纸的次数与平均分的关系，体现了生活与数学的联系。在多次反复的折纸过程中，同时伴随着对问题的反思，学生积累的不仅仅是“折”这一数学操作活动经验，而更多的是“折”的背后所蕴含的折的次数与平均分份数之间的关系。可见反复的伴随思维的数学活动，可以在习得数学知识的同时，内化数学操作活动经验。

（二）关注不同能力的学习者的活动体验，拓展数学活动经验的宽度

关于数学活动经验，陈佑清也认为数学活动经验属于个体知识的范畴，[10]那么数学活动经验就存在着个体性的特征。换句话说，不同（能力）的学习者在经历某个数学學习活动的过程中，所获得的数学活动经验的程度是不同的。

[案例2]苏教版四年级综合实践课“探究多边形的内角和”

本课从特殊的四边形内角和开始，学生经历了从一般四边行内角和的验证到五边形内角和的探索，再到其他多边形内角和的拓展。其中有一个细节，当学生自主探索到四边形内角和（180°×2）之后，教师放手让学生自主探索其他多边形的内角和公式，苏教版教材提供了一个表格（见表1）。

而有的学优生可以通过对四边形的内角和的探索，能够通过类比、归纳，运用数学直觉得出其他边形的内角和公式，从而得出结论，而有的学困生在对八边形的探索之后依旧无法发现规律。因此，教学中可以将表格适度调整为表2。

经过这样调整，给予学生更多的操作空间。学生可以基于之前积累的数学操作经验，自主发现更多的多边形内角和公式，从而便于得出一般多边形的内角和的公式；而这样的调整，可以关照到部分学困生，让其有更多的空间去操作，感悟多边形内角和的数学模型。所以在教学中关注不同学习者在数学活动中的体验，拓展数学活动的宽度，也是以人为本、尊重学习者个别差异性这一理念的重要体现。

（三）充分经历推理的过程，挖掘数学活动经验的深度

数学活动经验具备隐性知识的特征，就需要学习者思维的参与，尤其是需要让学生在推理的过程中，培养学生的创新能力，这是数学基本活动经验提出的初衷。[11]以“分数的基本性质”一课为例，在通常的教学中，执教者设计看图写分数并找出一些分子分母不同但大小相等的分数，接着通过一些数学活动，寻找和相等的分数并用等式表示，进而让学生在发现结论的基础上揭示分数的基本性质。

【环节2】在经过学生自由验证一个分数的分子和分母同时乘相同的数，分数的大小不变的时候，教师进一步引导学生从已有的结论中通过适当变换、联想，同样可以形成新的猜想进而得到新的结论。比如分数的分子和分母还可以同时……进而自主地引发学生对“一个分数的分子和分母同时除以相同的数，分数的大小不变”这一规律的猜想和验证。

通过环节1，我们发现，在探索一个分数的分子和分母同时乘相同的数，分数的大小不变的时候，第一次经历了“猜想—验证”的过程，从而发现规律；而环节2，则是基于第一次数学思维活动的经验，再一次探索分数的分子和分母同时除以相同的数，分数的大小不变。从这两个细节中学生发现规律并不是教师有意识的引导达成的，而是学生的主动建构，同时是伴随着数学活动经验的积累，而且在验证过程中，学生经历了归纳推理的过程，从而实现了数学知识的再创造。数学活动经验作为一种隐性知识，也正是在学生不断深入的思维过程中得以显性化，进而获得数学活动经验。

参考文献：

[1]义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012：3.

[2]李高慧.小学生数学活动经验的教学现状调查研究[D].西南大学.2014.

[3]吴正宪.感悟数学思想，积累数学活动经验[J].小学教学（数学版），2012，（1）：13-15.

[4]贲友林.关于数学活动经验的三点认识[J].小学教学（数学版），2012，（7-8）：109-110.

[5]郭青松.从“经历”走向“经验”[J].教育研究与评论（小学教育教学）.2012，（6）.

[6]宋煜阳.过程性：数学活动经验积累的应然之道[J].教学与管理，2012，（6）.

[7]义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[8]吕程，蔡庆有.思维经验：数学活动经验的内在精髓[J].教学与管理，2013.10.

[9]郭玉峰，史宁中. 初中学生数学基本活动经验的量化研究[J].课程·教材·教法，2013，（11）：48-54.

[10]陈佑清.教学论新编[M].北京：人民教育出版社，2011：125.

[11]郭玉峰，史宁中.数学基本活动经验：提出、理解与实践[J].中国教育学刊，2012，（4）：42-45.

（江苏省南京市建邺实验小学 210019江苏省南京市教育科学研究所 210002）