非匀质车辆队列的分布式控制*

秦晓辉,王建强,谢伯元,2,胡满江,李克强

(1.清华大学汽车工程系,北京 100084; 2.总装汽车试验场,南京 210028)

非匀质车辆队列的分布式控制*

秦晓辉1,王建强1,谢伯元1,2,胡满江1,李克强1

(1.清华大学汽车工程系,北京 100084; 2.总装汽车试验场,南京 210028)

提出了对称通信拓扑下具有不同参数摄动的非匀质车辆队列鲁棒稳定性分析方法和分布式控制器设计方法。通过反馈线性化技术求得队列节点的线性动力学响应,结合分布式控制策略和静态状态反馈控制律,建立了具有范数有界参数不确定性的车辆队列高维状态方程。利用矩阵不等式将队列系统内稳定性转化为线性方程的H∞性能,证明了队列系统在不同参数摄动下保证鲁棒稳定性的充分条件,并给出了控制器增益的低维度求解方法。最后,基于非线性车辆模型进行了数值仿真,验证了所提出方法的有效性。

非匀质车辆队列;通信拓扑;分布式控制;参数不确定性

前言

随着通信技术的发展,智能驾驶辅助系统将逐渐向集成化程度更高、安全辅助能力更强的方向发展[1]。作为智能驾驶辅助系统的典型应用场景之一,与传统的自适应巡航系统相比,车辆队列跟驰因能够在保证安全性的基础上采用更短的跟驰间距而有望进一步提高交通效率和燃油经济性__[2],得到了国内外学者的广泛关注[3-4]。

基于无线通信的车辆队列系统涉及4个基本要素:车辆动力学,跟驰策略,分布式控制策略和通信拓扑[5]。带1阶惯性延迟的双积分器模型是该领域使用最为广泛的车辆模型[6],恒定距离和恒定时距的跟驰策略被学者广为采纳[7],分布式控制策略因具有较好的扩展性而成为主流选择[8],通信拓扑的结构对队列的性能有着重要影响[9]。队列控制通常考察3方面性能:内稳定性、队列稳定性和可扩展性。内稳定性要求跟驰误差随时间衰减到零[7],队列稳定性要求输入干扰在向队尾传递的过程中不断衰减[10],而可扩展性则期望队列的内稳定性不会随队列规模的增大而迅速恶化[7]。

另一个必须强调的重要性能是队列控制的鲁棒稳定性。在实际应用中,因外界干扰、高频建模不确定性等因素,不可避免地存在模型失配现象。现有研究讨论了如下两种因素引起的鲁棒性问题:通信拓扑不确定性和节点模型不确定性。涉及通信拓扑不确定性的研究工作通常从通信时延不确定性[11]、通信拓扑构型不确定性[12]和通信权重不确定性[13]3个方面展开讨论。对节点模型不确定性的研究则考虑外界干扰项[14]和建模不确定性[15]两个方面。现有研究对非匀质队列的稳定分析仍存在着计算量随队列规模增大而不断增长的问题。

本文中针对对称通信拓扑下具有有界参数不确定性的非匀质队列控制问题,通过结合分布式控制策略和静态状态反馈控制律,建立了高维状态方程,给出了保证系统鲁棒稳定性的低维度充分条件,并提出了计算量不随队列规模增长的控制器增益计算方法。最后基于非线性模型进行仿真,验证了所提出的方法。

为方便表述,本文中默认如下约定:eN,i表示第i个元素为1,其余元素均为0的N维列向量。A＜0表示方阵A的所有特征值均具有负实部。He(A)= A+AT。R表示实数域,C表示复数域。符号⊗表示Kronecker积。

1 系统建模

1.1 车辆模型

队列由N+1辆车组成,包括1辆领头车和N辆跟驰成员车。领头车编号为0,其余成员车依次编号为1,2,…,N。

本文中仅讨论纵向跟驰问题,涉及车辆纵向动力学控制。许多非线性因素会对车辆纵向动力学产生影响,如发动机非线性转矩响应、变速器有级速比、空气动力学等。为简化车辆模型做出如下假设:

(1)车身对称,且视为刚体;

(2)忽略轮胎滑移;

(3)发动机进气歧管温度恒定,进气过程可用理想气体模型描述,发动机功率特性可用经验MAP图描述;

(4)液力变矩器锁定,动力系统时滞可用1阶惯性延迟描述。

基于上述假设,通过反馈线性化技术[16],可将车辆模型简化为如下线性状态方程:

其中

式中:pi为车辆位置;vi为车辆速度;ai为车辆加速度;κi＞0为时间常数,表征车辆动力系统的响应延迟,下标i表示车辆的序号。

1.2 队列模型

队列成员车之间的信息交流关系由通信拓扑图描述,即g=(V,ε)。其中V={1,2,…,N}为通信拓扑图的节点,ε=V×V为通信拓扑图的边。节点间的信息交流由邻接矩阵M=[mij]∈RN×N描述,mij=1表示节点i从节点j获取通信信息,mij=0表示节点i不从节点j获取通信信息。本文中考虑对称通信拓扑,所以mij=mji。

在此基础上进一步定义拉普拉斯阵LG=[lij]∈RN×N为

队列成员车与领头车之间的通信关系由牵引矩阵描述:

式中:pGi=1为节点 i能从领头车获取通信信息; pGi=0表示节点i不能从领头车获取通信信息。

队列控制的目标是跟踪领头车的车速,并与前车保持适当间距,如式(4)所示[5]。

为推导方便,令Di,i-1=[di,i-10 0]T,选取分布式控制律为

式中:K=(k1k2k3),为静态反馈增益。节点i相对于领头车的跟驰误差可表示为

对式(6)两边求导,可得

式中:Bi=[0 0 κi-κ0]T;a0为领头车的加速度。

式中0和1分别为所有元素为0和1的向量。Ei包含了每辆车不同的时间常数,它们在一定的区间范围内取值。为将不确定性分离开,令κi=κ+κΔi,κ表示时间常数标称值,κΔi为不确定性。于是有

N=I3N;E=diag[1,1,κ]

Δ中集中包含了队列成员车的参数不确定性,由于成员车的参数摄动有界,故存在正常数ρ,使得

其中AC=IN⊗A-H⊗(BK)

式(10)即为带范数有界参数不确定性非匀质队列系统的线性状态方程。可以看出,系统的内稳定性不仅取决于控制增益的选择,也受到了通信拓扑的影响。队列中的所有成员车通过通信拓扑相互联系起来,成员车辆的表现可能会影响整个队列的性能。

2 系统鲁棒稳定性分析

2.1 鲁棒稳定性条件分析

为分析非匀质队列跟驰的鲁棒稳定性,利用相似变换进行动力学解耦,将高维状态方程的稳定性问题等价转化为若干个低维度子模态的稳定性问题,进而得出保证系统鲁棒稳定性的判定条件。为此,需要如下引理。

引理1(Lyapunov定理)[15]:

方阵A满足A＜0的充分必要条件为:存在对称正定阵P使He(AP)＜0。

引理2[15]:

存在正定阵P＞0使得式(11)成立的充要条件为:存在正定阵～P＞0使得式(12)成立。

式中:ΔTΔ＜γ2I;P与之间是线性数乘关系。

线性系统的内稳定性要求闭环特征多项式的所有特征值均具有负实部[5]。下面的定理给出了系统保证鲁棒稳定性的判定条件。

定理1:

对于具有范数有界参数不确定性的式(10)非匀质队列系统,令H的特征值为λi,1≤i≤N,若存在对称正定阵序列Pi∈R3×3,使得式(13)矩阵不等式成立,则系统鲁棒稳定性得到保证。

证明:

系统内稳定性实际上要求闭环状态矩阵的所有特征值具有正实部。由于式(10)队列方程的状态矩阵是分块下三角阵,故内稳定性等价于

由引理1,式(14)等价于存在正定阵P,使得

将AC,M和N的具体表达式带入上式,得

由于H=HT,故H可对角化,即存在正交阵QT=Q-1使得

式中:J=diag(λi)∈RN×N;λi为H的特征值。

用Q⊗I3对式(17)做相似变换,得

利用Schur定理[17],即可将式(21)转化为线性矩阵不等式形式:

实际上,式(22)与定理中所述的式(13)等价,故而定理得到证明。

定理1将高维非匀质车辆队列的鲁棒稳定性问题转化为了若干低维矩阵不等式的求解问题,并且适用于所有对称通信拓扑,大大降低了系统稳定性判定的计算量。但由于在推导过程中假定了具有特殊结构,带入了保守性,所以本定理给出的条件是充分非必要的。

2.2 鲁棒控制器求解

前面提出的鲁棒稳定性条件,本小节提出一种计算量独立于队列规模的控制器求解方法。为此,需要下面的引理。

引理3(圆盘定理)[18]:

方阵H=[hij]∈RN×N的所有特征值均位于如下的圆盘集合中:

定理2:

对于具有范数有界参数不确定性的式(10)非匀质队列系统,令H的特征值为λi,1≤i≤N,若det(H)≠0,对任给正数δ＞0,若存在对称正定阵P∈R3×3＞0,使得式(24)和式(25)矩阵不等式组中任意一个成立,则式(26)控制器增益能保证队列的鲁棒稳定性。

式中符号“*”表示矩阵的分块对称部分,且

证明:

由于H为对角占优阵,故根据引理3,H的特征值满足如下约束:

因det(H)≠0,所以

故有:0＜λmin,所以zfm和zfM总存在。

假设P为满足定理2中矩阵不等式的解,只需验证该解能满足定理1中所给出的稳定性条件即可。为此将P带入不等式(13)中,并利用Schur定理将之展开,得

将K=BTP-1/2带入式(34),整理后得到

根据引理2,式(35)成立等价于存在正数δ＞0,使得式(36)成立[15]。

注意到 EBBT=κBBT,所以上式可以进一步写为

其中

f(λi)为二次多项式,两个零点分别为zf1=0和zf2=4κ/(2δ+1)。

当λmax＜zf2时,由多项式性质有

所以式(37)被满足的一个充分条件是下式成立。

利用Schur定理即可将式(40)进一步写为式(24)。

当λmax≥zf2时,由多项式性质有

此时式(37)被满足的一个充分条件是式(42)成立。

同样由Schur定理可知,式(42)等价于式(25)。

综上所述,定理2中给出的控制器设计方法能保证系统的鲁棒稳定性,定理得到证明。

定理2给出了一种低维度的控制器设计方法,只须求解与车辆模型维度相当的矩阵不等式即可得到保证系统鲁棒稳定性的控制器增益。与现有文献[19]和文献[20]中提出的方法相比,本文中提出的方法计算量不随队列规模增长,且适用于任意对称通信拓扑结构,更便于工程实践。

定理中的参数δ是一个需要设计者确定的参数,它并不对稳定性产生本质的影响,但会影响线性矩阵不等式的求解难度。

3 仿真验证

图1 仿真配置

3.1 仿真配置

仿真中的车辆模型为非线性模型,通过逆模型补偿的方式实现车辆模型的线性化,由于成员车的参数不一致(车辆质量和传动系统时延不同)而形成了具有模型不确定性的非匀质车辆队列系统。仿真的系统结构如图1所示。通过模型识别的方式可以验证车辆模型的时间常数标称值为κ=1.67,参数摄动范围为κ+κΔi∈[1.33,2.22]。仿真的队列规模为10辆跟驰车辆,1辆领头车。

3.2 控制器求解

如图1所示,仿真中使用的通信拓扑为LBPF (leader bidirectional predecessor following)。根据定理2,选取δ=0.17,可以验证λmax＜zf2,根据车辆模型,取ρ=0.50,于是使用式(24)不等式组求解,得到如下结果:

于是可以根据式(26)求取控制增益:

由于定理2中给出的是线性矩阵不等式,所以控制器可使用 Matlab软件中的线性矩阵不等式(linear matrix inequality,LMI)工具箱求解。

3.3 仿真结果

根据前面求取的控制器增益,导入仿真模型中进行数值仿真。仿真中,领头车车速按下式所示规律变化[5],单位为 m/s。仿真通过 Matlab/Simulink工具箱完成。

仿真结果如图2所示。图2(b)和图2(c)中5号车与10号车的曲线较接近,在局部放大图中可以看到二者的差别。

可以看出,本文中所提出的方法能够保证队列的鲁棒稳定性。此次仿真的误差收敛时间较长,这是由于控制器增益系数选择较小导致的,可通过适当加大增益系数来减小收敛时间和最大跟驰误差。

4 结论

基于具有1阶惯性延迟的线性车辆模型,针对对称通信拓扑建立了具有有界参数不确定性的高阶队列线性方程,分析了系统的鲁棒稳定性,研究了控制器的求解方法,并通过仿真验证了所提出的方法。

(1)提出了非匀质线性队列系统保证鲁棒稳定性的充分条件,该条件的矩阵维数仅与车辆模型相当,复杂度低。

(2)提出了保证非匀质线性队列系统鲁棒稳定性的控制器求解方法。该方法的计算量不随队列规模增长,便于实施。

图2 仿真结果

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Distributed Control of Heterogeneous Vehicular Platoons

Qin Xiaohui1,Wang Jianqiang1,Xie Boyuan1,2,Hu Manjiang1&Li Keqiang1
1.Department of Automotive Engineering,Tsinghua University,Beijing 100084; 2.Automotive Proving Ground of the General Armament Department,Nanjing 210028

The robust stability analysis method and distributed controller design scheme for the heterogeneous vehicle platoons with different parameters perturbation under symmetric communication topology are proposed. The linear dynamics responses of platoon nodes are obtained by using feedback linearization technique,and the high-dimensional state equations for vehicle platoons,whose some parameters having bounded norms are uncertain, are established by combining distributed control strategy and static state feedback control rule.Then the internal stability of platoon system is transformed into the H∞performance of linear equations with matrix inequality technique, by which the sufficient condition for ensuring the robust stability of platoon system under different parameters perturbation is proved,with the low-dimensional solving scheme for controller gain given.Finally a numerical simulation is performed on nonlinear vehicle model,verifying the effectiveness of the method proposed.

heterogeneous vehicle platoon;communication topology;distributed control;parameter uncertainty

10.19562/j.chinasae.qcgc.2017.01.012

*国家自然科学基金(51505247)资助。

原稿收到日期为2016年1月6日,修改稿收到日期为2016年3月8日。

李克强,教授,博士生导师,E-mail:likq@tsinghua.edu.cn。