例析2016年浙江数学高考试题解答中的化动为定

沈顺良

摘 要：动态问题可化归为静态确定的问题来解决，如一般几何问题转化为基本图形来解决，变量问题转化为定值问题，动态图形转化为特殊位置或特殊点情形，动态问题还可以利用其中的确定条件加以简化.化动为定在高考试题的解决中较为常见，对一般数学的解题也有较好的参考作用.

关键词：动态；变量；化归；确定

遇到动态的图形、变化的数、一般情形下的问题，往往直接解决较为困难，许多可以转化为基本、特殊、确定的图形和数，其中蕴含着化归思想，2016年浙江数学高考理科试题中有较多的动态或变量问题，下面加以例举和分析.

一、移动到基本的图形

基本图形是组成一个几何问题的最简单而重要的图形，它具有特定的性质，也是学生所熟悉的.平移变换不改变图形的形状和大小，它能将较复杂的线段图形问题，化归到基本图形问题.

例1 （2016年浙江数学高考理科卷第6题）如图1，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，An≠An+2 ，n？埸N*，|BnBn+1|

=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+2 ，n？埸N*，（P≠Q表示点P与Q不重合）

若dn=|AnBn|，Sn为△AnBnBn+1的面积，则

A.{Sn}是等差数列 B.{Sn2}是等差数列

C.{dn}是等差数列 D.{dn2}是等差数列

分析：各△AnBnBn+1的底边长相同，故它们的面积比较主要是看各三角形的高的比较（如图1的虚线垂线段长）.分别过A1、A2、A3、…作平行于B1B2的线段A1C1、A2C2、A3C3、…，根据三角形全等得到这些小直角三角形的高相等，即A2C1=A3C2=A4C3=…，从而得到各△AnBnBn+1的高成等差数列，因此面积也成等差数列，选A.

本题也可以化为确定的基本图形，取顶点为O的45°锐角，|OB1|=|B1B2|=…=1，以B1、B2、B3、…为垂足对应垂线与角的另一端交于A1、A2、A3、…，则各△AnBnBn+1的底边长都为1，高分别为1、2、3、4、…，显然答案为A.

二、取到能确定的数

特殊化策略在认识和解决问题时经常用到，它是将待解问题先解决它的特殊情况，然后将结果运用到一般情况，使原问题获解.对于字母变量较多的范围、不等式等问题，我们可以运用特殊化策略，取合适的特殊数代入探究.

例2 （2016年浙江数学高考理科卷第8题）已知实数a，b，c.

A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2<100

B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1，则a2+b2+c2<100

C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1，则a2+b2+c2<100

D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1，则a2+b2+c2<100

分析：本题对于满足条件的变量a，b，c难以直接解决，取能判断不等式成立与否的特殊值可以排除.选项A可取a=10，b=10，c=-110排除；選项B可取a=10，b=-100，c=0排除；选项C可取a=10，b=-10，c=0排除.故选D.

理科卷的第5题：设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，则f（x）的最小正周期

A.与b有关，且与c有关

B.与b有关，但与c无关

C.与b无关，且与c无关

D.与b无关，但与c有关

分析：由于f（x）=sin2x+bsinx+c=+bsinx+c.当b=0时，f（x）的最小正周期为π；当b≠0时，f（x）的最小正周期为2π.c的变化会引起f（x）图象的上下平移，不会影响其最小正周期.故选B.

三、确定取最值的位置

在较复杂的动态图形最值问题中，往往涉及多个动点，难以直接设元转化为函数最值.如果能将其中一个动点按照取得最值确定其位置，则能将多个动点转化为单个的动点问题.

例3 （2016年浙江数学高考理科卷第14题）如图3，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD体积的最大值是 .

分析：本题可以看成动点D在线段AC上，底面三角形BCD的面积关于D而确定，此时满足PD=DA的动点P中当PD与底面垂直时体积最大.

由AB=BC=2，∠ABC=120°可得AC=2设AD=x，DP=x，DC=2-x，S△DBC=×（2-x）×2×sin30°=，其中x∈（0，2），VP-BCD=×S△DBC×h=×h≤（）=当且仅当2-x=x，即x=时取等号. 四面体PBCD体积的最大值是.

四、利用动态中的确定条件

许多动态的图形中满足了一定的隐含条件，利用其中隐含的确定条件，能将图形的运动加上限制条件，使问题变得易于解决.

例4 （2016年浙江数学高考理科卷第18题）已知a≥3，函数F（x）=min{2|x-1|，x2-2ax+4a-2}，其中min{p，q}=p，p≤q，q，p>q.

（Ⅰ）求使得等式F（x）=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围；

（Ⅱ）（ⅰ）求F（x）的最小值m（a）；

（ⅱ）求F（x）在区间[0，6]上的最大值M（a）.

分析：这里二次函数y=x2-2ax+4a-2看似动态，其图形经过定点（2，2），且其对称轴满足x=a≥3，从而能基本确定F（x）的图象如图4.

（1）满足条件的x即为抛物线y=x2-2ax+4a-2与直线y=2x-2的两交点间之间，易解得x的取值范围为[2，2a].

（Ⅱ）（ⅰ）设函数f（x）=2|x-1|，g（x）=x2-2ax+4a-2，由图得所求最小值为这两个函数的较小值，即比较-a2+4a-2与0的大小，得m（a）=0，3≤a≤2+，-a2+4a-2，a>2+.

（ⅱ）由图得，要讨论2a-2与6的大小，当2a-2≥6时，所求最大值f（0）=2，当2a-2<6时，由于2a>6，故所求最大值为g（6），所以m（a）=34-8a，3≤a<4，2，a≥4.

五、探究临界位置的情形

解析几何中的公共点个数问题，有些涉及动态的直线、圆的移动，有些则涉及椭圆等曲线的圆扁即离心率问题，探究关键的几个临界位置，再根据图形运动时的公共点个数变化，就能得到问题的解决，其中也蕴含着一般到特殊的策略运用.

例5（2016年浙江数学高考理科卷第19题）如图5，设椭圆+y2=1（a>1）.

（Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a，x表示）；

（Ⅱ）若任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.

分析：（Ⅰ）的解略，本题（Ⅱ）中以点A（0，1）为圆心的圆是任意的，只要考虑临界位置的圆的条件.如图临界1是圆与椭圆相切于点（0，-1），满足条件的椭圆应该是比临界1更圆，即离心率小于临界1的离心率.虽然临界2、临界3分别是3个、2个公共点，但半径变化中的圆与椭圆都会有4个交点.

x2+a2y2=a2，x2+（y-1）2=4两式相减消去x得：（a2-1）y2+2y+3-a2=0

Δ=4-4（a2-1）（3-a2）=0时，解得a=，代入原来方程得到对应y=-1，公共点就一个（0，-1），此时椭圆的离心率e=.要满足题中条件，只要让椭圆临界形状再圆一些，即所求解为0

上述例举的化动为定问题解决，体现着将复杂的待解决问题向简单的较易解决的问题化归，也是将量、形、关系化为统一，将问题由抽象到具体向较具体的问题转化，以使其中的动更易把握，这样的解题策略也应该在日常的教学中加以渗透.