高中数学概率题的解答方法分析

江苏省扬州中学教育集团树人学校 秦咏梅

高中数学概率题的解答方法分析

江苏省扬州中学教育集团树人学校 秦咏梅

高中生大多面临着高考的实际问题，为了考入自己满意的学校、完成自身的理想，作为高中生应当分毫必争。数学无论对于文科还是理科都是非常重要的科目，而在数学的学习中，概率相关的知识是重难点。对于高中生来说，概率题的解答综合性很强，常常会出现理不清题目中的各种关系等问题，并且概率的知识中融入了很多不同的数学思想和方法，为了能够快速地做好做对概率题，作为高中生，应当能够结合所学习和掌握的数学思想和方法，从多个角度分析并解决问题。

一、概率和函数思想的结合

高中数学的学习过程之中，函数思想是非常重要的。函数作为贯穿整个高中学习过程的重要知识点，=函数思想抽象于基本的函数内容，并对函数的基本内容进行了更高程度的概括和提炼，故而在研究方程、不等式、数列、解析几何等内容时，函数思想通常都能起重要作用，同时，函数思想也能够很好的和概率题相结合，帮助高中生更好地理清题目之中的各个数据、概念之间的关系，更加直观地进行计算，而不需要通过太过绞尽脑汁的分析，利用函数思想，概率题的解答将会获得更多便利。

例如如下的例题：

猎人在相距100m处射击一野兔，命中的概率为1/2，如果第一次未击中，则猎人进行第二次射击，但距离已是150m，如果又未击中，则猎人进行第三次射击，但距离已是200m，已知此猎人命中的概率与距离的平方成反比，求射击不超过三次击中野兔的概率。

解：因为概率P=K/r×r，由已知r=100时，P=1/2得K=5000，从而可以求得：

当r=150时，P=2/9；当r=200时，P=1/8。

记A1：第一次命中，A2：第一次没有命中；

B1：第二次命中，B2：第二次没有命中；

C1：第三次命中，C2：第三次没有命中。

则：P（A1）=1/2，P（A2）=1/2，P（B1）=2/9，P（B2）=7/9，P（C1）=1/8，P（C2）=7/8。

命中可以表示为：A1∪A2B1∪A2B2C1，由于各次射击是否命中相互独立，且这三个事件互斥，所以命中的概率为：P（A1∪A2B1∪A2B2C1）=P（A1）+P（A2）P（B1）+P（A2）P（B2）P（C1）=1/2+1/2×2/9+1/2×7/9×1/8=95/144。由这样一道题目我们可以看出，将函数的知识应用到概率题的解答之中，我们将能够更为直观地分析整个题目的解题流程，并能够更为容易地计算出正确的答案。

二、概率与数形结合思想的结合

数形结合思想是解决各类计算问题的基本思想之一，是高中生应当掌握能力的基础，与函数思想相似，数形结合思想也是大多高中生在一直学习中就能够构建起来的。但很多同学往往不重视对数形结合思想的培养，在面对一些可以结合图形完成的概率题时，他们往往会一时无法想到数形结合的方法而手足无措。掌握数形结合思想，不但对解决其他类型的题目有很大的帮助，在概率的学习上也会有很大的好处。

例如如下的例题：

两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去。则两人会面的概率为？

解：因为两人谁也没有讲好确切的时间，故样本点由两个数（甲乙两人各自到达的时刻）组成。以7点钟作为计算时间的起点，设甲乙各在第x分钟和第y分钟到达，则样本空间为

Ω：{（x，y）|0≤x≤60，0≤y≤60}，画成图为一正方形。会面的充要条件是|x-y| ≤20，即事件A={可以会面}所对应的区域是图1中的阴影部分。故P=1-2×1/2×40×40/（60×60）=1-1600/3600=5/9。

这样一道直接推理起来较为困难的题目，通过数形结合的方式，其实简单地画一个图就能得到很好的解决，故而高中生应当更为重视对数形结合思想的练习，在遇到能够根据数据画图求解的题目时，要能够在很短时间内反应过来画图解答，高考中每一道题的时间都不多，利用数形结合的思想，能够快速正确地解答当前的题目，省下更多的时间来处理别的难题。

图1

三、概率和递推思想的结合

递推思想是解决概率问题的一个主流思想，它推理过程直接，易于理解，很多学生在解答概率题时都会运用到递推思想，然而递推思想的一个致命缺点就是它往往耗时更多，当题目的难度不太大、推理过程难度也不过高的时候，运用递推思想可快速而直接地得出答案，是最优的选择。除此之外，我们学习过的递推公式在数列中的运用很多，当然也可以运用在概率题的解答之中。

例如如下例题：

A，B二人各拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，该掷骰子的人再继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，就由对方接着掷，第一次由A掷。若第n次由A掷的概率为P，求P。

解：因为第一次由A来抛，掷出的点数之和为3的倍数，掷骰子的人再继续掷，则第二次由A抛的概率是12/36，即1/3。第三次由A抛的概率是12/36×12/36，即1/3的平方。第四次由A抛的概率是12/36×12/36×12/36，即1/3的三次方。依此类推，第n次由A掷的概率为1/3的n-1次方。故而

由这样的题我们可以看出，利用递推思想能够很直观而易于理解的解决问题。递推思想不仅仅是盲目地一步步推出结果，它的要点在于找到每一步之间的联系，并根据联系按照规律写出接下来会发生的结果。这种手段常常可以用在大题的计算中，往往会有很好的效果。

当然，高中概率题的解答思想不仅仅只有以上三种，例如方程思想、补集思想等都可以运用在题目的实际解答中。重要的是要如何将我们在平时的大量练习中主动或习惯形成的不同解题思想运用到实际的解题过程中去，并且利用不同的运用的对比找到解答一类题的统一技巧，做到触类旁通，会一题会一类题，这样才能在考试的过程中节省更多的时间，提高解题效率，获得更好的成绩。