函数定义域的相关问题

许飘勇

摘 要：變量数学反映了运动变化的思想，它是近代数学的核心思想即函数的思想，那么自变量的范围即整个函数的定义域就显得至关重要了，因为它是研究一切函数性质的基础。

关键词：函数 自变量 定义域

函数作为高中数学的主要知识之一，连接整个高中数学的始终，。在平时的教学中，应注重函数的定义域的作用和影响，并且能够培养学生严密的数学逻辑思维。

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：

例1：某一个近似等腰三角形的梯田周长为40，其中底边长为y，腰长为x，试写出该三角形的底边长y与腰长x的函数关系式？

解：由题意得：，故函数关系式为：.

最后我们还应补上自变量的范围：

即：函数关系式为： （）

二、函数奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。例2：判断函数的奇偶性.

解：∵

∴ 定义域区间[-2，4]关于坐标原点不对称

∴ 函数是非奇非偶函数.

整个的解答过程体现了严密的数学逻辑思维。但是如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论：

∵

∴ 函数是奇函数.

三、函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：

例3：指出函数的单调区间.

解：先求定义域：

∵

∴

∴ 函数定义域为.

令，知在上时，u为减函数，

在上时， u为增函数。

又∵.

∴函数在上是减函数，在上是增函数。

即函数的单调递增区间，单调递减区间是。

四、函数最值与定义域

函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大（小）值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。如：

例4：求函数在[-2，5]上的最值.

解：∵

∴ 当时，

初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化。这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的灵活性。

五、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：

例5：求函数的值域.

错解：令

∴

故所求的函数值域是.

剖析：经换元后，应有，而函数在[0，+∞）上是增函数，所以当t=0时，ymin=11. 故所求的函数值域是[11， +∞）。

以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。也就是说，学生若能在解好题目后，检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维批判性。

综上所述，在求解函数函数关系式、单调性、奇偶性、最值（值域）等问题中，若能精细地检查思维过程，思辨函数定义域有无改变（指对定义域为R来说），对解题结果有无影响，就能提高学生质疑辨析能力，有利于培养学生的思维品质，从而不断提高学生思维能力，进而有利于培养学生思维的创造性。