数商周云华

朱晓昀

摘 要 数学能力也是理解结构并进行逻辑推理的思维能力，我们称之为数商。本文围绕什么是数商，数商的重要性，数商与智商情商的关系以及如何培养一个人的数商展开论述。

关键词 数商 结构理解 逻辑推理 培养训练

中图分类号：G633.6 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2016.11.014

1 数商是什么

数商是一种数学能力的指标。在正式给出数学能力的定义之前，我们先谈谈什么是数学。

数学作为一门学校教育的基本课程，从小学（甚至幼儿园）到大学的每个阶段都有开设。对一个人的成才和发展具有如此重要性的数学到底是什么，每个人在人生的重要阶段花十几甚至二十几年的时间去努力学习的这样一门学科到底对人有怎样的影响？

从现代意义上讲，数学描述的是集合上的各种数学结构以及它们之间的关系。比如从幼儿开始我们就教他们数学：大、小、多、少。这里说的“大小”，是直观上体积的大小。体积的大小在数学上是给定单位下的一个正数，而正数作为实数的子集，具有一种“序”结构。所以我们在教孩子认识大小的区别的时候其实是在让他理解“序”这种数学结构。同理，“多少”也是直线上的“序”结构的体现。再比如初中数学的函数。这里的函数是直线（或者直线上的子集）到直线的一种映射关系。函数的单调性其实就是一种保序或反序的性质；极值就是映射保序与反序的临界点。中小学学生的抽象思维能力还不足够发达，所以其数学内容的安排多具有生活或者几何直观。大学数学的各个课程就更能体现数学是研究结构的这一特点。比如拓扑学就专门研究空间的拓扑结构以及拓扑结构被保持（或部分保持）的映射；代数学就是研究各种代数结构（比如群，环，域等）的学科。

数学的另外一个特征就是在给定结构范围内进行逻辑推理。对于赋予了多种结构的集合，理解各种结构之间的关系就需要用到逻辑推理。比如刚才说到的直线上的序结构，以及直线作为一个群具有加法这一群结构，6+2与4+3谁大？对这个问题的逻辑分析是：先对数做群运算（加法）得到结果，然后弄清这两个结果数的序关系（大小）。数学中的证明题当然是典型的逻辑推理了。

所以，一个人的数学能力也就是理解结构并进行逻辑推理的思维能力。这是一种极其理性的能力，我们称之为数商（Mathematical Quotient）。这种能力越强，我们说数商越高；反之，这种能力越弱，数商就越低。数商包含以下几个方面的能力：

第一，数学理解的能力，即对具体或抽象结构的理解能力。一般说来，数学结构越具体越容易被理解，越抽象越难于理解。对大小多少的认识，一个正常人都能做到。也就是说，序结构是一种比较具体的，易于理解的数学结构。但是，有多少人能很好地理解直线以及一般微分流形上的微分结构呢？大多数数学专业本科生毕业也未必掌握。说明微分结构比较抽象了，而一般人理解起来也更困难。更进一步，像各种同调群结构等就更难理解了。粗略地说，能理解的结构越多或越抽象，数学理解力就越强。

第二，数学逻辑推理能力。逻辑推理是另一个本质的数学能力。现实世界是复杂的，每一个事物一般都具有多种结构。如果我们仅仅具有认识理解结构的能力，而不能理解各种结构之间的相互（影响的）关系，那还是不能真正把握事物。比如初等数学在平面上定义了长方形的面积之后，其它的一些常见几何对象的面积可以通过逻辑推理得到：通过切割、填补等推理可以得到平行四边形、三角形、梯形等的面积公式。但要得到圆和一般曲线所围的平面图形的面积则需要用到极限（积分）的推理运算。学习三角形等面积公式对一般初中甚至小学生都能接受，但用极限的推理过程得到圆的面积公式对有的大学生（特别是文科）就有些困难了。由此看出，逻辑推理能力的高低是决定数学能力的两个因素之一。

2 数商的重要性

（1）数商在学习中的重要性。我们这里着重谈数商对数学学习的重要性。对其他科目学习的影响我们以后会专门撰文讨论。根据前面所述，数学学习本质上是理解一些数学结构并进行逻辑推理，所以数商的高低就直接反映了数学学习能力的强弱。数商高，对结构的理解和想象的能力就越强。比如在平面几何中，几何图形可以看作是一种具体的狭义的数学结构。如果一个学生对空间的想象能力很强，那么他就可以针对问题对几何图形作出各种变形思考，这对作辅助线解题有极大的帮助。再比如在学习微积分中的导数的时候，如果我们理解了直线的微分结构，那么导数作为从定义域的切空间到值域的切空间上的线性映射的理解也就很自然了。另一方面，数商高，逻辑推理能力就强。逻辑推理是数学学习中解题的基本而关键的技能。这里的逻辑推理能力强不单指能正确给出问题的逻辑推导，还要能在已有的框架下，找到简洁快速推导出结果的能力。这样就不仅能正确得到答案，而且还能较快地获得结果。无疑对数学学习是重要的。

（2）数商与日常生活及工作管理。数学知识应用到日常生活的例子我们已经见到很多了，比如优选法，统计方法等。事实上，数学的思维方式更是普遍和深刻地应用于日常生活和工作。数学思维表现为抽象性和逻辑性。比如你是一个做销售的公司员工，你所面对的工作关系主要有公司上司、客户、和同行业的其他公司（及其销售员工），上司的要求、客户的需求、同行业其它公司的需求与行动是你要考虑的对象，然后你可以对他们分别建立数学指标，应用邏辑推理来确定你的行动方式。

（3）数商对未来的规划。对一个还未出生社会的学生来说，未来规划极其重要。数商高的学生往往能为自己做出一个好的未来计划。为什么呢？首先，一个人的优点缺点、周围环境的有利和不利因素、社会的过去和现在的趋势等都是一些抽象的东西，如果他（她）具有较好的抽象理解和思维能力，就能对自己的所处的现状和未来有一个较好的全面把握。其次，较强的逻辑推理能力有助于正确制定出达到自己未来目标的行动方式。于是，这样的规划取得成功是水到渠成的。

3 数商与其他能力标准的关系

现在的研究学者对于人的能力标准提出了许多概念，比如智商、情商、灵商、文商等。总结起来主要分为两类：理性的和感性的。这里面最具代表性的是智商和情商。下面我们谈谈数商跟这两者的关系。

（1）数商与智商的关系。智商是一种综合的智力体现。它的定义和测定都是在一个广泛的范围内进行的，从这个方面讲，数商具有智商的一些特点：数值高说明人在某方面更聪明。但数商有两个不同的特点：更具体、更理性。从定义上看，数商考虑的是抽象结构和逻辑推理两方面的思维能力，这是更具体，更容易判断出高低的一个能力指标。另外，数商的这种能力是纯理性，更是大脑左半球最直接的能力体现。此外，数商是可以训练提高的，但一般意义下的智商的提高难以有比较切实可行的方法。

（2）数商与情商的关系。情商是一种带有较强主观意识的人的能力体现。所以数商跟情商是一个人不同方面能力的描述。他们对一个人的成功都具有重要作用。数商像清泉，情商像岩浆。没有情商带来的热情与情怀，高数商的人可以是领域专家、行业精英，但难以统领以人为核心的工作团队；没有数商的理性思维之水，岩浆般的情商只会带来毁灭。所以，数商对成功具有基础的作用。而在社会上要想取得大的成功，数商与情商应配合运用与培养。

4 如何培养人的数商

4.1 从小开始，适合终生训练

数商的训练没有年龄限制，但越早开始越好，中学是训练数商的黄金时期。

开发大脑左半球的数学理性思维可以说是越早越好。在孩子有意识开始就让其理解大小多少等朴素的数学结构，并通过实物举例告知若“A>B且B>C”则“A>C”这样的逻辑推理。在孩子稍微懂事的时候就开始引导其对日常生活中的事情用数学的方式加以思考。上学之后的数学课学习中就明确要求有意识地進行数学抽象思考和抽象的逻辑推理。为什么说中学是训练数商的黄金时期呢？因为中学已经接触到了一定量的数学概念，同时人在这个时期的大脑（包括进行数学思考的左脑）也进入一个迅猛发育时期，所以对数商的训练是有素材且结果能对一生具有持久的效果。

4.2 培养抽象出数学结构和进行逻辑推理的习惯

数商的训练除了在学习中培养外，还应该养成在生活中随时注意抽象和逻辑推理的习惯。比如散步时从A到B地可能有几种不同的路径，那么哪一个路径是最近的？这时就可以抽象为数学中曲线（包括折线、直线段）的长度问题来思考。再比如，沿操场跑步的时候，同样是跑一圈，沿外圈比沿内圈跑要多跑多少？这些问题当抽象为数学概念时，都是简单的，但长期坚持这样的思考方式有助于数商的提高。实际上，历史上许多著名的科学家数学家都有这样的习惯，比如牛顿的苹果落地；欧拉解决哥尼斯堡七桥问题；庞卡莱研究太阳地球和月亮的运动轨迹；中科院院士王元买瓜等。

4.3 让孩子专注

数学的推理是在一定假设条件下按一定的逻辑规则进行严格推理的过程。这种纯思维的思考需要人精力的高度专注，任何一个旁来的干扰都有可能影响逻辑的正确运算。在孩子初期训练时可以先给予一定的安静环境，让其进行专注的独立思考。等孩子的思考能力变得强大的时候，就在有一定干扰的环境下也能正确思考和推断了。这样以后遇到复杂的环境，他就有能力抓住主要问题进行正确的逻辑推理。

5 总结

数学描述的是集合上的各种数学结构以及它们之间的关系。一个人的数学能力也就是理解结构并进行逻辑推理的思维能力，称之为数商。这种能力越强，我们说数商越高；反之，这种能力越弱，数商就越低。数商对学生学习，未来生活规划和一般人的日程生活及工作管理都有重要作用。数商与智商有共性也有不同；跟情商配合运用能有效获得学习、生活和工作的成功。数商的另一个显著特点是可从小培养，可终生训练。

参考文献

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