族分布下带投资的双险种风险模型中的破产概率

王施施, 王文胜, 骆明旭

(杭州师范大学理学院,浙江 杭州 310036)

王施施, 王文胜, 骆明旭

(杭州师范大学理学院,浙江 杭州 310036)

1 引言和模型

保险是国民经济的重要组成部分,对整个社会经济的稳定起着至关重要的作用.风险是保险的基础,是衡量保险公司经营能力的一个重要指标.

关于风险理论的研究已有百年历史.1903年,瑞典精算师Filip Lundberg最早开始了保险风险模型的研究,至此经典风险模型被不断研究.众多学者结合实际情况,针对保险公司在运作过程中遇到的种种问题,对经典风险模型进行改进,如对保费收入过程、随机扰动的推广等,大多数考虑的是单一险种风险模型.

如果假定保险公司拿出一部分盈余投资Black-Scholes型资本市场指数,并假设该指数的价格过程由几何布朗运动驱动,则公司的盈余过程{Ui(t),t≥0}可使用如下随机微分方程描述：

(1)

其中Ui(t)是第i个险种t时刻的盈余,ci是第i个险种的常数保费率,μi>0和σi>0是第i个险种漂移系数和波动率,ri∈[0,1]是公司盈余中用于投资的比例,{Bi(t),t≥0}是标准布朗运动,{Ni(t),i=1,2,t≥0}是第i个险种到t时刻为止保单发生的索赔次数,且{N1(t),t≥0},{N2(t),t≥0}相互独立,{Xik,k=1,2,…,i=1,2},{Bi(t),i=1,2,t≥0},{Ni(t),i=1,2,t≥0}都是相互独立的.

(2)

对于二维风险模型,在有限时间(T>0)内,主要研究以下3种情况下的破产概率.记破产时刻Tmax(x),Tmin(x),Tsum(x)分别为

Tmax(x)=inf{t≥0:max{U1(t),U2(t)}<0|U1(0)=β1x,U2(0)=β2x},

(3)

Tmin(x)=inf{t≥0:min{U1(t),U2(t)}<0|U1(0)=β1x,U2(0)=β2x},

(4)

Tsum(x)=inf{t≥0:U1(t)+U2(t)<0|U1(0)=β1x,U2(0)=β2x}.

(5)

则相应的破产概率分别是

Ψmax(x,T)=P(Tmax(x)≤T),

(6)

Ψmin(x,T)=P(Tmin(x)≤T),

(7)

Ψsum(x,T)=P(Tsum(x)≤T).

(8)

2 定义和主要结果

2.1 相关概念

定义1 对随机变量X其分布为F,如果分布F满足:对所有t>0,有

EetX=∞.

(9)

则称随机变量X服从重尾分布.

定义2 对随机变量X其分布为F,如果分布F满足:对任意y>0,都有

(10)

定义3 对随机变量X其分布为F,如果分布F满足

(11)

令

其中

(12)

下面是关于随机变量X之间关系的定义.

定义4 对于两个非负随机变量X1和X2,它们的分布分别为F1和F2,如果满足

(13)

则X1和X2是拟渐近独立的.

其中下面定理及定理证明中用到的LN(yi;a,b2)表示参数为a和b2的对数正态分布.

2.2 主要结果

Ψmax(x,T).

Ψmax(x,T).

(14)

(15)

(16)

Ψsum(x,T),

Ψsum(x,T).

(17)

(18)

3 一些引理

引理1 对于[0,∞)上的分布为F的随机变量X有

(1)

(19)

(20)

(21)

证明 参见文献[11]中的命题2.2.1,文献[12]中的引理3.5以及文献[13]中的定理3.3.

下面这个引理是关于指数布朗运动积分的一些性质.

引理2 对∀λ∈R,μ∈R以及∀n∈N,有

证明 参见文献[14].

(22)

(23)

则有

(24)

证明 参见文献[15]中的定理2.

(25)

证明 参见文献[16].

引理5 对于单一险种情形下带投资的风险模型,

(26)

证明 根据Tang[14],可以将该定理的证明和破产概率联系起来,首先令

记

根据更新函数,对∀ρ>0,

(27)

(28)

所以上式说明引理3条件(2)满足.

根据引理3得到

(29)

引理6 对于单一险种情形下带投资的风险模型,

(30)

证明 和引理5证明一样,将此定理证明和破产概率联系起来.由引理5,再根据引理2得到C(T)是一个有界函数.

(31)

根据引理3得到

(32)

固定0<ε<1,

(33)

根据Wei[4]我们可以证明上式第二个积分相对于第一个来说可以忽略.

结合上述及Wei[4]中的结论,由引理1中式(20)得到

结合式(32)和(33),所以有

(34)

综上所述得到：

(35)

4 定理的证明

4.1 定理1的证明

首先证明式(3)定义的破产概率的上界,由破产概率Ψmax(x,T)的定义及条件{N1(t),t≥0},{N2(t),t≥0}相互独立,以及{Xik,k=1,2,…},(i=1,2)独立可知

由引理5得

Ψmax(x,T).

(36)

接着要证明破产概率的下界,根据其独立性有

由引理6得

Ψmax(x,T).

(37)

所以定理1的结论就证明了.

4.2 定理2的证明

根据破产概率Ψmin(x,T)的定义及在定理2条件下,令s(xi)=inf{t≥0,Ui(t)<0},则

4.3 定理3的证明

定理3的证明和定理1的证明一样,首先考虑式(5)定义的破产概率的上界,由定理3的条件得

由引理4得

所以

Ψsum(x,T).

(38)

下面考虑破产概率的下界.由式(5)破产概率定义得

所以

(39)

这样定理3的结论得证.

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Ruin Probabilities of a Two Risk Model with Investment under Dominatedly-varying-tailed Claims

WANG Shishi, WANG Wensheng, LUO Mingxu

(School of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

ruin probability; quasi-independence;dominatedly-varying-tailed class; consistently-varying-tailed class; two-dimensional risk model

2016-04-10

王文胜(1972—),男,教授,主要从事随机过程、金融数学研究. E-mail: wswang@aliyun.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2017.01.021

O211.9 MSC2010： 62P20

A

1674-232X(2017)01-0094-09