刍议将数学课堂交给学生

蔡军军

“把课堂还给学生”是叶澜提出的理念.该理念主张把课堂还给学生，使课堂成为培养学生自我教育能力的最好场所，让学生做学习的主人.然而有些教师的理解是，数学课堂上教师要敢于放手，让学生去参与，甚至整堂课全部由学生来完成.当前，确实有几所学校在这方面很成功，如杜郎口模式便是其一，但是很多学校做不到这一点，而且杜郎口模式重视教师在课堂上的主导作用.在课堂教学中，教师应该扮演怎样的角色？师生关系应该是怎样的？如何打造高效课堂？下面以“等比数列的前n项和”为例，浅谈如何打造高效课堂.

某教学参考资料指出：“其一，问题都是探究数列的前n项和，给定一个等比数列，其前n项和就只与n有关（是关于n的函数），求出这个函数的关系式就是研究目标……其三，怎样消项呢？等差数列的“倒序相加”能照搬吗？不能（这点可以让学生自己尝试），又该怎样办呢？”事实上，等差数列与等比数列求和公式推导方法的数学本质是相同的，两种求和方法只是一种运算技巧.不妨回顾两种数列求和公式的推导方法进行对比分析：

等差数列求和公式的推导过程：

Sn=a1+a2+a3+…+an.①

Sn=an+an-1+an-2+…+a1.②

①+②得：2Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+…+（an+a1）.

根据等差数列性质可得：a1+an=a2+an-1=…=an+a1.③

所以2Sn=n（a1+an）.故Sn=n（a1+an）2.

等比数列求和公式的推导过程：

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1.④

④×q，可得qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn.⑤

由④-⑤得，（1-q）Sn=a1+0+0+…0n-1个0

-a1qn.⑥

当q≠1时，Sn=a1（1-qn）1-q.

不难发现，对Sn=a1+a2+a3+…+an求和，主要是处理带省略号的一段，在③式中因为a1+an，a2+an-1，…an+a1，相等，即可求和，整体上处理了省略号.而在⑥式中因为出现了n-1个0，也从整体上成功地求出了和.可见，两种推导方法从解决省略一段的方式是相同的，即都是把相同的数组成的数列求出和.这里相同的数组成的数列是如何构造的？从③、⑥式中不难看出，是数与数“配对”后通过两个等式加、减而来，之所以能求出和，是因为通过“配对”将不同数的数列求和化归为相同数的数列求和，即常数列求和.这样，本质是转化与化归的思想方法，而“配对”只是这一数学本质的表现形式.所谓的“倒序相加法”和“错位相减法”就有着相同的数学方法本质，即转化与化归的思想方法.这两种方法本身不过是一种数列求和的运算技术而已，不必被推崇为方法，更不足称为数学思想.这就解决了一直困扰不少教师的问题：为什么不能用类比等差数列求和公式的推导方法，启发学生推导等比数列求和公式的难题？能否类比等差数列求和公式的推导方法（将不同数的数列求和转化为相同数的数列求和，即常数列求和）来推证等比数列求和公式？适当引导后，“错位相减”也将自然形成.这符合了先前所学知识为后面学习提供知识经验的原理，贴近了学生的最近发展区.

另有教学参考资料指出：“……第二，教师应该清醒地认识到，学生的习题解答，其中大部分属于模仿性操作.创造思维的培养是数学教学的高层次目标，但教师对学生的创造力不能估计过高，期望他们在新授课上、在短时间内做出惊人之举是不现实的.第三，教师虽然欢迎学生提出问题，但鉴于知识和视野的局限，他们不可能提出新颖独特、结构精巧、蕴涵深邃、功能丰富的精彩问题，而是要教師在课前精心编拟”.那么，将课堂交给学生的理念与培养学生的创造思维和提出有价值问题的能力是否相悖？实际上，在数学教学中，教师营造民主的教学氛围，揭示数学的思维过程，并给学生认真思考和自主探索的时间，鼓励学生主动参与，激发学生的求知欲，让学生大胆质疑，提出问题，解决问题，能够培养学生的创造思维和提出有价值问题的能力.

下面结合自己的教学实践，提出推导等比数列前n项和公式的几点想法，用以说明教师如何发挥主导作用，并尊重学生的主体地位，恰当地“将数学课堂交给学生”.

1.创设问题情境，激活学生的思维

数学课程标准指出，教师应注意创设情境，从具体实例出发，展现数学知识的发生、发展过程，使学生从中发现问题、提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉.在“等比数列的前n项和”教学中，笔者创设问题情境：国际象棋起源于古代印度.关于国际象棋有这样一个传说：国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请您在这张棋盘的第1个小格内给1粒麦子，在第2个小格内给2粒，第3格内给4粒，依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子为止.把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人吧.”国王觉得这不是难办的事，就欣然同意了他的要求.国王应该给发明者多少粒麦粒？国王有能力满足发明者的要求吗？通过数学史料，扩展学生的数学视野，提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识.

2.加强师生互动，引导学生自主探究

数学课程标准指出，教师是数学活动的合作者，是学生自主学习的引导者；教师要创造自由、轻松的课堂气氛，引导学生主动参与数学活动.结合学生掌握知识的情况和本课特点，笔者设计如下推导公式的方案.

类比等差数列通项公式的推导.

对于等差数列，我们是这样推导出通项公式的：

当n≥2时，有a2-a1=d，a3-a2=d，…，an-an-1=d.

将上面的n-1个等式的两边分别相加，得an-a1=（n-1）d（叠加法）.

而对于等比数列，根据定义有，a2a1=q，a3a2=q，a4a3=q，…，anan-1=q，即.a2=a1q，a3=a2q，a4=a3q，…，an=an-1q.

将上面的n-1个等式的两边分别相加，得a2+a3+…+an=（a1+a2+…+an-1）q.

观察上式左右两边的特点发现，等式左边加上a1等于Sn，等式右边括号内加上an也等于Sn.于是有Sn=a1=（Sn-an）q，整理得（1-q）Sn=a1-anq.所以，当q≠1时，Sn=a1-anq1-q=a1-a1qn-1q1-q=a1（1-qn）1-q，当q=1时，Sn=na1.

3.加强学生的交流合作

每个学生都有发展的潜能，也都有各自的思维方式和解决问题的策略.要想把课堂交给学生，教师就应赋予学生更多的思考、动手、交流的空间和机会，使学生在合作交流和独立思考的氛围中学会倾听、质疑、说服、推广.在教学中，笔者尝试让学生分成小组就等比数列求和公式进行合作探究，提高了教学效果.

课堂简录：通过前面学习，我们理解了等比数列的定义，即an+1an=q（q≠0），掌握了等比数列的通项公式，即an=anqn-1.那么，如何探究等比数列前n项和，即Sn=a1+a2+a3+…+an=？（将全班学生分成4个小组进行交流合作）经过一段时间，第一个小组汇报，由Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1①，在①式左右兩边同乘q，得qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn②，再由①-②得，（1-q）Sn=a1-a1qn.所以当q≠1时，Sn=a1（1-qn）1-q.第一小组是运用了错位相减法.笔者给予肯定，指出课前预习是非常好的学习习惯.这时，第二个小组主动要求给出他们的推导方法：Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1+q（a1+a1q1+…+a1qn-2）=a1+qSn-1=a1+q（Sn-an）….笔者表扬了他们小组的成果，并指出这种方法实际上是构造了子母式.第三小组也不甘示弱，勇敢地站出来指出：Sn=a1+a2+a3+…+an=a2q+a3q+a4q+…+an+1q=（a1+a2+a3+…+an）-a1+anqq=Sn-a1+anqq….第三小组的方法与第二小组的方法本质一样，殊途同归.紧接着，第四小组介绍他们的方法：由a2a1=a3a2=a4a3=…=anan-1=q，结合比例关系中的等比性质得，a2+a3+a4+…+ana1+a2+a3+…+an-1=q，即Sn-a1Sn-an=q……第四小组的方法是回归到等比数列的定义，新颖别致.

总之，将数学课堂交给学生，没有绝对标准.只要符合学生的认知心理，就有积极意义.

参考文献

渠东剑.启发思维重于诱导结果[J].中学数学教学参考：上旬，2013（10）.

水菊芳，黄安成.我们不是课堂“神话”的缔造者----“将课堂交给学生之我见” .中学数学教学参考：上旬，2013（12）.