抓定义透实质

匡婷　葛双林

二项分布及其应用的常见题型

在[n]次独立重复试验中，设事件[A]发生的次数为[k]，在每次试验中事件[A]发生的概率为[p]，那么在[n]次独立重复试验中，事件[A]恰好发生[k]次的概率[P（X=k）][=Cknpk（1-p）n-k（k=0，1，2，…，n）]. 此时称随机变量[X]服从二项分布，记作[X]～[B（n，p）]，并称[p]为成功概率.

1. [n]次独立重复试验中事件[A]发生[k]次的概率

例1 在三次独立重复试验中，事件[A]在每次试验中发生的概率相同，若事件[A]至少发生一次的概率为[6364]，则事件[A]恰好发生一次的概率为（ ）

A. [14] B. [34] C. [964] D. [2764]

解析 设事件[A]在每次试验中发生的概率为[x]，由题意得，[1-C33（1-x）3=6364]，则[x=34]. 则事件[A]恰好发生一次的概率为[C13×34×（1-34）2=964].

点评 二项分布的前提是独立重复试验. 独立重复试验中“至多”“至少”问题和在排列组合中一样，一般都需分类处理，若正面的情况较多，可考虑逆向思维法.

2. 二项分布的期望与方差

例2 已知随机变量[X]服从二项分布[B（n，p）]，若[E（X）=30]，[D（X）=20]，则[p=] .

解析 由题意得，[E（X）=np=30，]且[D（X）=][np（1-p）][=20]，解得，[p=13]. 故应填[13].

点评 若离散型概率分布被定位为二项分布，就可以直接利用公式[E（X）=np， D（X）=np（1-p）]求得.

3. 二项分布的分布列

例3 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的[12，13，16].现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设，记[ξ]为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求[ξ]的分布列.

解析 记第[i]名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件[Di，i=1，2，3].

点评 本例中，表面上试验有三种结果，仔细想想：若记选择基础设施工程或产业建设工程为事件[Di]的话，[Di]要么发生，不发生就是选择民生工程，其实只有两个结果，则[ξ]服从二项分布. 一般来说，判断一个随机变量是否服从二项分布，主要看以下几点：（1）每次试验中，事件发生的概率是相同的；（2）各次试验中的事件是相互独立的；（3）每次试验只有两种结果，事件要么发生，要么不发生；（4）随机变量是这[n]次独立重复试验中事件发生的次数.

4. 两点分布

例4 若随机变量[X]服从两点分布，且[P（X=0）=0.8，][P（X=1）=0.2，]令[ξ=3X-2]，则[P（ξ=-2）=] .

解析 当[ξ=-2]时，[X=0]，则概率为0.8.

点评 两点分布是二项分布的一个特例，是当[n=1]时的二项分布，其中[PX=1]是成功概率.

不“明显”的二项分布

例5 某中学在运动会期间举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的. 已知小明每次投篮投中的概率都是[13]. 求小明在4次投篮后的总得分[ξ]的数学期望.

解析 由题意得，[ξ]的可能取值为0，2，4，6，8.

点评 本题还可以设投篮命中的次数为[η]，即先研究4次投篮命中的次数，符合二项分布的定义，即[η]～[B（4，13）]，则[E（η）=4×13=43.]又得分[ξ=2η]，由公式[E（aη+b）=aEη+b]可求出[Eξ=2Eη=83]. 这样做可以大大减少运算量.

被“错认”的二项分布

例6 甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为[3∶2]，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）

A. [C23353×25] B. [C23352×23]

C. [C34353×25] D. [C34233×13]

解析 甲打完4局胜，则要求第四局是甲胜，前三局中甲胜2次，应选择A.

点评 在研究二项分布求概率时，除注意事件的独立性之外，还要注意恰有[k]次发生与有指定哪几次发生的区别. 本题很容易被误认为二项分布，导致错选C.

不能不说的“二项分布与超几何分布”

例7 某网站用“10分制”调查某社区人们的幸福度. 现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：

（1）指出这组数据的众数和中位数.

（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”. 求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率.

（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记[ξ]表示抽到“极幸福”的人数，求[ξ]的分布列及数学期望.

解析 （1）众数：8.6；中位数：8.75.

点评 二项分布与超几何分布是很容易弄混淆的两种分布，一般来说超几何分布和二项分布有如下区别：（1）“不放回”抽取是超几何分布，而“有放回”抽取（独立重复）是二项分布. （2）对于超几何分布，需要知道总体的容量，而二项分布不需要. 若特意强调数据很大或者有“將频率当作概率”这样的描述，则是二项分布.