正、余弦定理在解三角形中的应用

■湖南省长沙市南雅中学高二(7)班 钟 理

正、余弦定理在解三角形中的应用

■湖南省长沙市南雅中学高二(7)班 钟 理

编者的话:在学习的过程中,你一定会遇到许多问题,也需要解决这些问题,而在解决问题的过程中,如果能深入一些、细致一些,就会有新的发现,把你的发现写出来就是一篇论文。希望同学们在学习过程中善于发现和总结,同时也希望同学们把论文寄给我们。电子信箱:xuexifaxian@126.com。

解三角形是高中数学的基本点之一,它经常与三角函数、平面向量等综合考查。在解三角形的过程中,正弦定理和余弦定理是最常用的两个定理,本文就来谈谈正、余弦定理在解三角形中的应用。

例1已知△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且cosA+cosB=试判断△ABC的形状。

解法一:因为cosA+cosB=所以由正弦定理得:cosA+cosB=

整理得sinCcosA+sinCcosB=sinA+sinB。

又因为sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB,所以sinCcosA=sinBcosC+sinB。

sinCcosA=sinBcosC+sin(A+C)。

sinCcosA=sinBcosC+sinAcosC+sinCcosA。

故cosC(sinB+sinA)=0。

又因为A、B为三角形的内角,则sinA＞0,sinB＞0。

所以△ABC为直角三角形。

解法二:由cosA+cosB=及余弦定理可得:

两边同乘2abc得:a(b2+c2-a2)+b·(a2+c2-b2)=2ab(a+b)。

整理得:ac2+bc2-a3-b3=a2b+ab2。

故c2(a+b)=a2(a+b)+b2(a+b)。

所以a2+b2=c2,故△ABC为直角三角形。

感悟:判断三角形的形状,主要有两种方法:一是化成三角形内角之间的关系,利用三角函数的恒等变形来判断;二是化成三边之间的关系,利用代数变换,通过边的关系来判断。

例2设△ABC的内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且有acosB-bcosA=求tan(A-B)的最大值。

解:在△ABC中,由正弦定理及acosB-bcosA=得:sinAcosB-sinBcosA

整理得sinAcosB=4cosAsinB,所以tanAcotB=4。

所以tanA=4tanB＞0。

感悟:本题先利用余弦定理将已知条件化为三角形内角之间的关系,从而求出tanA=4tanB＞0,再把tan(A-B)化为最后用均值不等式求解。

(责任编辑 赵 平)