例谈数学方法在遗传规律解题中的运用

辽宁 张育旗

例谈数学方法在遗传规律解题中的运用

辽宁 张育旗

遗传规律中的数据分析与计算是高中学习的重点和难点之一，而这些数据分析与计算其实都是数学原理的应用。若能运用恰当的数学方法，就可以达到准确快速地解决此类问题的目的。

1 分解法

分解是数学中应用较为普遍的方法。位于非同源染色体上的非等位基因的分离或组合是互不干扰的，也就是说一对等位基因与另一对等位基因的分离和组合是互不干扰、各自独立的。因此，解决较为复杂的关于自由组合定律的习题时，可借鉴分解法。

1.1 概率的分解

将题干中所给的概率拆分两个或多个概率，再运用分离定律单独分析，逆向思维，快速解决此类问题。

例1 在香豌豆中，当C、R两个显性基因都存在时，花才呈红色。一株红花香豌豆与基因型为ccRr的植株杂交，子代中有3/8开红花。则该红花香豌豆的基因型为______。

【解析】子代红花占3/8，即子代中C_R_）=3/8，由于另一亲本基因型为ccRr，可分解成，依据中的可知亲本为Cc×cc，依据中的可知亲本Rr×Rr，综合考虑亲本的红花香豌豆基因型。

【答案】CcRr

1.2 比例的分解

将题干中所给的比例拆分两个或多个特殊比例，再运用分离定律单独分析，逆向思维，快速解决此类问题。有时，一些拆分后的比例运用自由组合定律分析更简单，因此不要拘泥于分离定律。

例2（2014·海南卷节选）某种植物的表现型有高茎和矮茎、紫花和白花，其中紫花和白花这对相对性状由两对等位基因控制，这两对等位基因中任意一对为隐性纯合则表现为白花。用纯合的高茎白花个体与纯合的矮茎白花个体杂交，F1表现为高茎紫花，F1自交产生F2，F2有4种表现型：高茎紫花162株，高茎白花126株，矮茎紫花54株，矮茎白花42株。请回答：

根据此杂交实验结果可推测，株高受________对等位基因控制，依据是_______。在F2中矮茎紫花植株的基因型有_______种，矮茎白花植株的基因型有_______种。

【解析】根据题干信息，可假设高茎和矮茎的相关基因为A与a，紫花和白花的相关基因为B与b、D与d。由于亲本为纯合高茎白花个体与纯合矮茎白花个体，因此F1的基因型为AaBbDd，表现型为高茎紫花；F1自交，对F2按株高和花色分别统计，F2中高茎（162＋126）∶矮茎（54＋42）＝3∶1，紫花（162＋54）∶白花（126＋42）＝9∶7；F2中株高的比例要运用分离定律分析，而花色的比例则要运用自由组合定律分析。

【答案】一 F2中高茎∶矮茎=3∶1 4 5

2 合并同类项法

合并同类项实际上就是乘法分配律的逆向运用。例如两对等位基因间的基因互作，依据题意进行合并同类项，在9∶3∶3∶1的基础上，基因型为AaBb的个体自交子代表现型比例可以变化为15∶1、9∶7、9∶6∶1等等。合并同类项法在巧推自由组合规律特殊比值中是一种好方法。

例3 在西葫芦的皮色遗传中，已知黄皮基因（Y）对绿皮基因（y）显性，但在另一白色显性基因（W）存在时，基因Y和y都不能表达。现有基因型WwYy的个体自交，其后代表现型种类及比例是 （ ）

A. 2种，13∶3 B．3种，12∶3∶1

C．3种，10∶3∶3 D．4种，9∶3∶3∶1

【解析】基因型WwYy的个体自交，子代有9W_Y_、3W_yy、3wwY_、1wwyy，再根据黄皮基因（Y）对绿皮基因（y）显性，但在另一白色显性基因（W）存在时，基因Y和y都不能表达，合并同类项9W_Y_和3W_yy为12，子代表现型种类及比例为3种，12∶3∶1。

【答案】B长蔓所占的比例分别为 （ ）

A． 27 9/64 B．19 27/64

C． 9 3/64 D． 8 6/64

【解析】设用A、a基因表示番茄红果和黄果，B、b基因表示二室果和多室果，C、c基因表示长蔓和短蔓。由此确定亲本基因型AABBcc×aabbCC，杂交种植得F1为AaBbCc，F2中基因型共有33=27种，其中纯合子有23=8种，杂合子有19种。红果、二室、长蔓基因型为A_B_C_，所占的比例=3/4×3/4×3/4=27/64。

【答案】B

3.2 杂合子（Aa）连续自交公式

Aa连续自交n次，后代情况为杂合子占（1/2）n， 纯合子占1-（1/2）n，AA或aa占1/2×[1-（1/2）n]，显性∶隐性=（2n+1）∶（2n-1）。

例5（原创）已知豌豆高茎（A）对矮茎（a）为显性，花腋生（B）对花顶生（b）为显性，两对基因独立遗传。用纯合的高茎花腋生与矮茎花顶生杂交，F1自交，播种所有的F2，假定所有的F2植株都能成活。

（1）在F2植株开花前，对植株套袋，假定每株F2收获的种子数量相等，从理论上讲F3中花腋生∶花顶生=________。

（2）在F2植株开花前，拔掉所有的花顶生植株，并对剩余植株套袋。假定剩余的每株F2收获的种子数量相等，且F3的表现型符合遗传定律。从理论上讲F3中表现矮茎花顶生植株的比例为__________。

【解析】（1）单独分析花腋生与花顶生，F1为花腋生（Bb），连续自交两次得F3中花顶生占1/2×[1-（1/2）2]=3/8，花腋生占1-3/8=5/8，所以F3中花腋生∶花顶生=5∶3。（2）在F2植株开花前，拔掉所有的花顶生植株，并对剩余植株套袋即剩余植株自交；F3中矮茎花占1/2×[1-（1/2）2]=3/8，花顶生植株占2/3×1/4=1/6，因此F3中表现矮茎花顶生植株的比例为3/8×1/6=1/16。

【答案】（1）5∶3 （2）1/16

3.3 雌雄配子组合公式

如果亲代雄性个体含n对等位基因，雌性个体含m对等位基因，独立遗传，则亲代雄性个体产生2n种配子，雌性个体产生2m种配子 ，受精时雌、雄配子组合数为2n与2m的乘积。

例6 西葫芦果皮的颜色由两对等位基因（W与w、Y与y）控制，独立遗传。果皮的颜色有3种基因型，白色为W Y 、W_ yy，黄色为wwY_ ，绿色为wwyy。

3 通项公式法

先根据题设条件和遗传学原理进行简单的推导，从中归纳出通项公式，然后依据通项公式来解决问题。

3.1 n对等位基因的个体（独立遗传）自交公式

含n对等位基因（各自独立遗传）的亲本自交，则配子的种类和F1表现型的种类为2n种，基因型种类为3n种，纯合子种类为2n种 ， 杂合子种类为（3n-2n）种 ；A-B-C---占（3/4）n，aabb--占（1/4）n。

例4（改编题）番茄红果对黄果为显性，二室果对多室果为显性，长蔓对短蔓为显性，三对性状独立遗传。现有红果、二室、短蔓和黄果、多室、长蔓的两个纯合品系，将其杂交种植得F1，F1自交得F2，则F2杂合子种类及F2中红果、二室、P白果皮×黄果皮→F1白果皮∶黄果皮∶绿果皮=4∶3∶1

求亲本的基因型_______________________。

【解析】首先根据亲代表现型，可初步确定亲本的基因型为W_ _ _×wwY ；子代白果皮∶黄果皮∶绿果皮=4∶3∶1，可知子代组合数为（4+3+1）=8种，这要求一个亲本产生4种配子，另一个亲本产生2种配子；由此得亲本的基因型。

【答案】WwYy和wwYy

3.4 自由交配公式

英国数学家哈代和德国医生温伯格提出：一个极大的有性随机交配的种群在理想情况下（无突变、迁移和选择），世代相传，基因的频率和基因型的频率保持着平衡。种群中基因A的频率P（A）和基因a的频率P（a）分别为p和q，则雌、雄配子中基因A、a的频率也分别为p和q，种群中P（AA）=p2，P（Aa）=2pq，P（aa）=q2。

例7（2015·新课标Ⅰ卷）假设某果蝇种群中雌雄个体数目相等，且对于A和a这对等位基因来说只有Aa一种基因型。回答下列问题：

（1）若不考虑基因突变和染色体变异，则该果蝇种群中A基因频率∶a基因频率为________。理论上该果蝇种群随机交配产生的第一代中A A、Aa和aa的数量比为________，A基因频率为_______。

（2）若该果蝇种群随机交配的实验结果是第一代中只有Aa和aa两种基因型，且比例为2：1，则对该结果最合理的解释是________。根据这一解释，第一代再随机交配，第二代中Aa和 aa基因型个体数量的比例应为_______。

【解析】（1）“对于A和a这对等位基因来说只有Aa一种基因型”，所以基因A、a频率都为50%。随机交配后，AA%=50%×50%=25%，aa%=50%×50%=25%，Aa%=2×50%×50%=50%，比例1∶2∶1。基因频率不变，A仍为50%。（2）AA个体致死，只剩下Aa和aa个体，比例为2∶1。A基因频率是1/3，a基因频率是2/3。故aa基因型频率占4/9，Aa基因频率占2×1/3×2/3=4/9；Aa和aa基因型个体数量的比例应为1∶1。

【答案】（1）1∶1 1∶2∶1 0.5

（2）A基因纯合致死1∶1

4 二项式定理法

例8（2014·海南卷）基因为AaBbDdEeGgHhKk的个体自交，假定这7对等位基因自由组合，则下列有关其子代的叙述，正确的是 （ ）

A. 1对等位基因杂合、6对等位基因纯合的个体出现的概率为5/64

B. 3对等位基因杂合、4对等位基因纯合的个体出现的概率为35/128

C. 5对等位基因杂合、2对等位基因纯合的个体出现的概率为67/256

D.7对等位基因纯合个体出现的概率与7对等位基因杂合的个体出现的概率不同

【解析】根据二项式定理，1对等位基因杂合，6对纯合的个体出现的概率为1/2）（11/2）6=7/128，A错。5对基因杂合，2对基因纯合的个体出现的概率为1/2）（21/2）5=21/128，C错误。7对等位基因纯合个体与7对等位基因杂合的个体出现的概率相等为1/128，D错误。

【答案】B

总之，数学作为一门自然科学的基础学科，已经成为遗传学研究中不可或缺的工具。在解决遗传规律问题的过程中，把遗传学原理与数学方法结合起来，巧妙应用数学的方法和技巧，将取得事半功倍的效果。

（作者单位：辽宁省渤海大学附属高级中学）