坚守常识需定力，情真意切论课改——由单墫教授谈数学教学说起

☉浙江杭州市萧山区所前镇初级中学 夏忠晓

坚守常识需定力，情真意切论课改
——由单墫教授谈数学教学说起

☉浙江杭州市萧山区所前镇初级中学 夏忠晓

最近我们注意到不少微信公众号连续转载了我国著名数学教育家、新中国首批18名博士之一的单墫教授谈数学教学的两篇文章，转载后得到不少同行的转发和热议.本文先简述单教授两篇文献，并跟进思考.

一、单墫教授两篇文献概述

“文献1”：《学会学习、做感兴趣的事——单墫教授访谈录》.这是《湖南教育》2015年第11期C版一篇访谈文章.在这篇文章中，单墫教授主要回复了数学竞赛、几何教学等相关问题，比如平面几何的教学.单墫教授回忆他上初中时学习平面几何的学习时说：“觉得那时候初中对平面几何的表达都要求比较严格.我们做平面几何都要求打草稿，我语文写作文都不打草稿，但是做平面几何时要打一个草稿，然后再写上去.”

再比如，单墫教授介绍解题心得时说：“就是总希望把题目解得更好一点，那就需要在做完以后好好总结一下.在解题这方面波利亚写的几本书是相当好的，如《怎样解题》，他确实是有真正的看法.我一直要求自己写完以后要回顾，要注意看能不能写得更好一点.对于老师来说，不是说一个问题你绕了5个圈子解决了，你还要带着人家再绕5个圈子.即使你自己绕了5个圈子，讲的时候，要让人家少绕圈子这才是好的，所以要注意这个问题，每次都注意做得更好一点.”

“文献2”概述：单墫教授接受《时代学习报》编辑的访谈时，针对课改中优质课的一些看法.单教授说：“我见过一节课，是介绍路程、速度、时间公式的.一开始，老师‘嗖’地一下从讲台窜到门口，大家没闹清怎么回事，老师问还有没有比自己快的？大家说还有运动员.再讨论还有更快的吗？大家七嘴八舌说还有鸵鸟、猎豹……我觉得数学课不要为了创设所谓情境扯太多课外的东西来哗众取宠，这样的模式化之风真是让人很担忧！”

此外，单教授对另一种缺少严谨态度的教学语言也表现出厌恶，他说：“更滑稽的是，有一次居然听到一个老师说出这样一句‘三个点就能搞定一个平面’.怎么能说‘搞定’？‘不在同一直线上的三点确定一个平面’，这存在了几百年的公理哪能随便改动？估计老师自己还觉得挺风趣的，其实这种语言很不合适！数学是不能胡来的，课堂可以轻松点，但是老师的语言、板演必须严谨.”

李尚志教授看到该文在微信公众号上转发后，曾表示赞同单教授的观点.并认为：“其实单墫兄说的都是些大实话大白话普通常识，并非匪夷所思的天才发明.只不过因为大家都背离常识背离正常背离实话，只有他坚守常识坚持正常，就变成反常或者超常了.”以下就围绕一些常识话题给出笔者的个性化思考.

二、关于数学教学的一些思考

1.平面几何教学的价值之思.

我们知道初中阶段所学平面几何源自欧氏几何，特别是《几何原本》体系.在《几何原本》中特别重视公理、公设、定义、定理、推论，随之推演出几何大厦.章教授批判的课改进程中对平面几何结构的破坏，随意删减教学内容，看似减轻学生负担，然而我们都很清楚学生负担并没有因为删减了一些几何教学内容就真正减负.反而是删减一些必要的定理、性质，或对某些公理的深入追问，使得几何严谨的体系遭到破坏，让学生难以形成一个整体观、系统观.加上时时处处强调数学知识与生活情境相联系，使得不少几何知识勉强与生活实际结合起来，而忽略了几何内部的关联.使得学生失去深刻理解几何前后知识之间的关联的机会，不得不说是一种遗憾.再有，单教授指出几何语句的构思、书写都有严格的要求，在当下的几何教学中，这也是值得反思的.根据我们的教学经验，不少学生往往以为几何思路贯通即大功告成，因为他们在考场上已能得到分数，不会被扣分，而不愿继续对解法思路进行优化，并在反思过程中对解法步骤进一步求简，使得认识更加深刻，直至洞察问题的深层结构.

2.解题教学中多解与优化之思.

单教授提到“对于老师来说，不要带着人家再绕5个圈子”，这是很有见地的“一句教”.我们在很多网络群的主题研讨活动中，常常见到不少同行热衷于一题多解，并在自己的解题教学过程中加以传播，用很多时间进行多解展示，让学生感叹一道问题的多样化求解.如果是偶尔为之，并针对多解进行必要的回顾与评析，还可另说这样教学处理的价值.然而有些只是满足于一题多解，而缺少对不同解法的跟进反思、回顾，找出不同解法之间的关联、内在的联系，为什么这道题目有不同的解法，这些不同解法背后的道理何在，沟通了哪些数学知识.比如下面这道高考试题：

考题1：（2012年江苏高考）已知函数f（x）=x2+ax+b（a、b∈R）的值域为［0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），求实数c的值.

让我们对考题1稍加改编，修改为初中生可以理解的方式：

考题2：已知二次函数y=x2+ax+b（a、b为实数）的函数值y≥0，若关于x的不等式x2+ax+b＜c的解集为m＜x＜m+6，求实数c的值.

讲解：我们看到不少同行研讨这道题的解法时容易纠结于图像法，并在Δ＞0和Δ=0之间纠结.其实让我们回到初中一个最基本的概念：“非负数”到“非负式”.从非负数的常见形式来看，x2就是一个最简单的非负式，接着就是完全平方式是非负式.从非负式的角度来看，就可确定函数表达式x2+ax+b是一个完全平方式！这样就可推定Δ=0，从而实现问题突破.

单教授常常提醒我们解题要回到定义、回到基本概念，退到最简的地方去启发学生思考和理解.想起最近张景中院士在一次报告中提到的：简单了就容易；熟悉了就容易；想通了就容易.

想来上述观点正是我们在解题教学时应该努力追求的一种境界.

3.让教学情境回归数学本真.

单教授关于数学教学情境的论述也与《义务教育数学课程标准（2011年版）》多有共通.比如，课标上提出数学情境要兼顾生活现实、数学现实、其他学科现实，单教授也明确反对一些无趣、不自然的数学情境.包括有些命题领域有些数学试题的背景，多是一些无用的包装，影响数学追求本真的特点.这里不作具体题例的列举，只想提及一些大家都容易想到的一些命题包装.比如，为了考查科学记数法，摘引了一大段的新闻文字，而有用的只是其中一个数据，在平时教学上用情境还说得过去，但是作为惜时如金的考试，就显得有些不恰当了.再如，当下倡导数学文化、传统文化进入考试，有些考题就引了一段较长的古代文献，且是古文版，还要将这段古文翻译成白话文，再让学生解题，这样的一种情境包装在考场上也是不恰当的.

4.数学教学语言的规范之思.

单教授列举出教学语言的一些不规范表述.其实当下的微课流行，网络上随处可见，我们常常见到很多个性化的新潮语言融入数学教学之中，不少初任教师或许因为年轻，或许因为他们做学生时就爱到这样不规范数学语言教学影响，又缺少必要的教学研讨，使得一些不规范语言表达成为教学惯习.有些新潮的网络语言、流程语言也会渗入平时的数学教学之中，我们认为单教授这样的严谨和纠偏并不是一个老学究的固执，而是固守数学立场，坚持严谨规范的表达，应该值得我们倾听.于漪老师曾感叹当下语文教学中的语言问题，想来在数学教学中也有同样的担忧.事实上，就以学科符号规范使用来看，不少教师还有很大的学习空间，比如，想起全国著名特级教师李庾南老师在报告中曾提及的一段教研往事，李老师说上个世纪90年代初在大连上了一节全国示范课，课后某数学教育家对课堂很满足，只是悄悄地提了一个建议：“李老师，你课上得很出色，只是你的板书中解题过程的最后一步都缺少一个句号.”李老师很感叹，因为这是她已从教近30多年之后的教学基本功.试想，有多少老师在板书过程中能在数学步骤之后加上那一个“.”呢？提到这个“.”，也顺便提及数学文献、资料、试卷中，中文标点语号“。”一律用“.”代替，表示变量的字母使用“新罗马体+斜体”，在很多网上流行的word文档中都见到不规范的文件.再比如，命题表述时，有些个性化、不规范的问题呈现也需要得到纠正，回归数学的严谨追求.

三、写在后面

本文由单教授的两篇访谈说起，谈及教学基本问题，阐释了我们对教学常识的坚守，都是一些老生常谈，经典话题，每个人的见解、观点可能不一，既不一定准确，也不一定正确，欢迎批判指正.

1.单墫.学会学习、做感兴趣的事——单墫教授访谈录［J］.湖南教育（C版），2015（11）.

2.郑毓信.善于举例［J］.人民教育，2008（18）.

3.郑毓信.善于提问［J］.人民教育，2008（19）.

4.郑毓信.善于优化［J］.人民教育，2008（20）.