在概率教学中准确把握“等可能性”

郑文秀

（江苏省南京市湖滨高级中学）

在概率教学中准确把握“等可能性”

郑文秀

（江苏省南京市湖滨高级中学）

随着课程与考试的不断改革,在近几年的数学高考中概率问题越来越凸现出它的重要位置,成为高考命题的一个新视角。古典概型与几何概型是教学中的重点内容。明确概率问题中的等可能性是研究古典概型与几何概型的基础与关键。

概率教学；古典概型；几何概型；等可能性

概率论是一门研究随机性或不确定性等现象规律的数学分支。由于社会、生产和科学技术的飞速发展,概率的应用日益广泛,已经渗透到社会的方方面面,随着课程与考试的不断改革,在近几年的数学高考中概率问题越来越凸现出它的重要位置,成为高考命题的一个新视角。

古典概型与几何概型是教学中的重点内容。而明确概率问题中的等可能性是我们研究古典概型与几何概型的基础与关键。当等可能的角度不同时，其相应随机事件发生的概率通常也是不同的。不能准确地判断问题中的等可能性会使我们的解题失去方向，造成判断失误从而得出错误的结果。笔者将从下面几个例子来说明如何准确把握“等可能性”。

一、在古典概型教学中

抽签问题中的公平性

现实生活中，有时会碰到难以取舍、难以抉择的问题，对于这种问题很多时候采用抽签的方法来解决。而在具体抽签过程中，有人认为中签的机会不等，这与抽签的顺序有关；有人则认为这跟抽签的顺序无关。到底谁是谁非，下面以例题说明。

例1.某单位组织一次出国学习的活动，某科室有6名成员，只有一个名额，每个人都很想参加，无奈之下，采用抽签的方式决定谁去参加活动。6张同样卡片，只有一张上面写有“参加活动”的字样，其余均为空白。放在一起、洗匀，让6个人依次抽取，计算一下每人中签的概率。

解析：记Pi表示“第i个人抽到‘参加活动’卡片”的概率（i= 1，2，3，4，5，6）。

第1个人抽到“参加活动”卡片的概率P1=，若第2个人抽到“参加活动”卡片，那第1个人一定没有抽到，第1个人没有抽到“参加活动”卡片的概率为则

同理，P4=P5=P6=，即6个人抽签，每个人中签的概率相等。

正是由于抽签中不管是第几次抽取，每次抽中的概率都相等，从而确保了公平、公正的原则,所以在实际生活中应用非常多，包括一些重大的比赛中也都利用抽签法来决定出场顺序、对阵形式等。

二、在几何概型的教学中

1.准确区分几何概型的测度类型

例2.直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=60°，在斜边AB上任取一点P，求AP小于AC的概率。

变形：直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=60°，过直角顶点C在∠ACB内部任做一条射线CP，与线段AB相交于点P，求AP小于AC的概率。

评析：在利用几何概型的概率公式求解其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度、面积、体积时的等可能性，主要体现在点落在区域Ω上任一位置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的。因此，对于背景相似的问题，一定要认真推敲，注意区别。

明确问题中的等可能性是我们运用两种概型中的概率公式解题的基础与关键，平时学习要深刻理解有关公式的内涵与应用前提，而不要盲目套用，这样才能让我们从似是而非的盲区中走出来，提高我们分析问题解决问题的能力。

李忠华.高中数学概率的教学［J］.青年时代，2015（22）.

●编辑 李博宁