浅析高中数学中函数的性质及图像

姚康

摘 要：函数在高中数学中是一个重要的部分，在高考当中的题型设置中，可以以任何形式出现，不管是选择题、填空题、应用题或者是最后的压轴题都可能反复出现。其中可以是单纯关于函数的题，也可以是与其他知识综合运用的题，还可以是复杂的代数推理题，高中数学中函数的运用成为考察学生能力的重要部分。本文主要对高中数学函数的相关性质和图像进行探讨。

关键词：高中数学;函数;性质;图像

一、函数的考察重点和难点

一般函数考察的重点主要有以下几个：1.函数的奇偶性、单调性和周期性;2.函数与不等式结合;3.函数与方程的结合;4.函数与向量的综合;5.利用导数来刻画函数。

函数的难点主要有两个方面，一个是新定义的函数问题，二是代数推理问题，通常作为高考压轴题。

二、几种常见函数的性质和图像

（一）一次函数

一次函数是最为简单并且最常见的一种函数，在数学的很多其他领域中也经常涉及到相关的运算，在平面直角坐标系中的显示的图像是一根直线。没有特别说明的情况下，其定义域的取值范围为所有值，为一切实数，通常用R表示;其值域也为一切实数R;没有奇偶性和周期性。所有的一次函数都有倾斜角，它指的是X轴正方向与直线之间的夹角。一次函数的平面直角坐标系解析式有：①ax+by+c=0[一般式];②y=kx+b[斜截式]（k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）;③y-y1=k（x-x1）[点斜式]（k为直线斜率，（x1，y1）为该直线所过的一个点）;④（y-y1）/（y2-y1）=（x-x1）/（x2-x1）[两点式]（（x1，y1）与（x2，y2）为直线上的两点）;⑤x/a-y/b=0[截距式]（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）。相对应的这些解析式表达存在局限性： ①所需条件较多（3个）;②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）;④参数较多，计算过于烦琐;⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。

（二）二次函数

二次函数在平面直角坐标系中表现的是一条对称轴与y轴平行的抛物线。其定义域为一切实数;值域需要根据解析式来判定，一般分a大于0和a小于0的情况进行讨论;其奇偶性为偶函数，不存在周期性。其解析式为：①y=ax^2+bx+c[一般式] ⑴a≠0 ⑵a>0，则抛物线开口朝上;a<0，则抛物线开口朝下;⑶极值点：（-b/2a，（4ac-b^2）/4a）; ⑷Δ=b^2-4ac， Δ>0，图象与x轴交于两点：（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）;Δ=0，图象与x轴交于一点：（-b/2a，0）;Δ<0，图象与x轴无交点;②y=a（x-h）^2+t[配方式] 此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=（4ac-b^2）/4a）。

（三）反比例函数

反比例函数在平面直角坐标系中的图像为双曲线。其定义域为除了0以外的一切实数;值域也是除了0以外的一切实数;其奇偶性为奇函数，没有周期性。在平面直角坐标系中的解析式为：y=1/x。

（四）幂函数

幂函数的解析式为y=x^a。当y=x^3时，幂函数在直角坐标系中的图像类似于将一个过圆点的二次函数的第四区间部分关于x轴作轴对称后得到的图象，其定义域为一切实数R，值域也为一切实数R，为奇函数且无周期性;当y=x^（1/2）时，图象类似于将一个过圆点的二次函数以原点为旋转中心，顺时针旋转 90，再去掉y轴下方部分得到的图象，定义域为0到正无穷，值域为0到正无穷，无奇偶性和周期性。

（五）指数函数

在直角坐标系中指数函数的图像类似于一个滑梯，永远过x=0，y=1这个点。其定义域为一切实数;值域为0到正无穷;无奇偶性和周期性。其解析式为y=a^x（a>0且a≠1），若a>1则函数在定义域上单调增;若0

（六）对数函数

在图像中与对应的指数函数（该对数函数的反函数）的图象关于直线y=x轴对称，永远过x=0，y=1这个点。定义域为0到正无穷;值域为一切实数R;没有奇偶性和周期性。其解析式为y=log（a）x（a>0且a≠1），若a>1则函数在定义域上单调增;若0

（七）三角函数

1.正弦函数解析式为y=sinx ，图象为正弦曲线，是一种波浪线，也是所有曲线的基础。其定义域为一切实数;值域为-1到1;为奇函数且最小正周期为2π。其对称轴为直线x=kπ/2 （k∈Z）;中心对称点是与x轴的交点：（kπ，0）（k∈Z）。

2.余弦函数解析式为y=cosx ，图象为正弦曲线，由正弦函数的图象向左平移π/2个单位（最小平移量）所得。其定义域为一切实数R;值域同样为-1到1;为偶函数且最小正周期为2π。对称轴为直线x=kπ （k∈Z）;中心对称点是与x轴的交点：（π/2+kπ，0）（k∈Z）。

3.正切函数解析式为y=tg x ，图象的每个周期单位很像是三次函数，有很多个，并且均匀分布在x轴上。其定义域：{x│x≠π/2+kπ};值域为一切实数R;为奇函数且最小正周期为π。正切函数没有对称轴，其中心对称点是与x轴的交点：（kπ，0）（k∈Z）。

三、结语

综上所述，函数可以说是高中数学中的一大核心内容，其涉及的内容特别多，可以作为贯穿整个高中数学的一条主线，进行着不断的穿插。我们在学习的过程中应重视这一方面的内容，只有打好坚实的基础，将所有的内容吃透和消化，便能有效提高自己的思维能力，有助于建立自己的自信心，挖掘自己在数学方面的兴趣爱好。

参考文献：

[1] 潘天士主编，张玮等编著.中学数学课件制作实例与技巧[M].机械工业出版社，2004.