初中数学函数最值问题求解探析

彭期川

摘要：函数最值问题是初中数学教学的一个重点和难点。本文例举了初中数学函数最值问题中常用到的方法，如配方法、消元法等，以期帮助学生更全面的掌握函数知识，在实际的解题过程中可以从多个角度进行问题的解答。

关键词：初中数学；函数最值；解题方法

函数最值问题是中考重点考查的知识点，作为基础题型，初中数学中求函数最值问题往往是通过消元法和配方法进行解题的，其解法灵活性、综合性强，对学生的理解能力要求高，学生为解决这类问题，需要全面掌握函数最值问题的解题思路与方法，综合运用各种数学技能。

一、初中函数最值求解中配方法的运用

在初中数学中，配方法的运用很常见，在进行函数最值的求解中，往往也会用到配方法。在函数最值求解中配方法的运用指的是将题目已知的代数式或者不等式配成多个完全平方式，再根据完全平方式不可为负的性质对题目进行简化计算。

例如，已知参数 和 都是实数，需要求的5y2+4xy+2x2+2y-4x-5这个函数的最小值为多少？

解题思路：这种题型是典型的函数最值问题，并且这个函数告诉了两个未知的参数，参数之间并没有具体的数值，这个时候完全可以通过运用配方法进行最值的求解。

原式=5y2+4xy+2x2+2y-4x-5

=x2-4x+4+x2+4xy+4y2+y2+2y+1-10

=（x-2）2+（x+2y）2+（y+1）2-10.

通过这样的配方简化，显而易见当x=2，y=-1时，代数式的数值为最小值，最小值为10。

二、初中函数最值求解中消元法的运用

初中函数中消元法的运用主要是指通过已知不同变量转换为某一种变量来统一表示不等式或代数式，再借助题目已知的条件进行解答，通过一定的运算达到最值的求解。

例如，已知参数x、y、z都是非负的实数，并且这三个参数满足x+y-z=2，3x+2y+z=5这个代数式，假如S=2x+y-z，那么求S的最大值和最小值的和？

解题思路：这道题是典型的函数最值求和的问题，并且涉及到最大值和最小值两个数量的求解，在这种时候可以运用消元法进行最大值和最小值的求解，转化相应的变量，将待求问题转换成只包含一个参数的式子，结合已知条件进行代数式的求解。

立方程式组为：3x+2y+z=5和x+y-z=2，参数x和y都用参数y表示，可得：

x=（7-3y）/4，z=（y-1）/4。

从已知条件可得：x=（7-3y）/4≥0，y≥0，z（y-1）/4≥0。

解得1≤y≤7/3。又因为S=2x+y-z=-3y/4+15/4，将y=1和y=7/3分别代入S，可以得出S的最大值为3，最小值为2，所以Smax+Smin=3+2=5。

三、初中函数最值求解中区间定动轴的运用

（一）定轴定区间

在函数求解中，运用函数图像可以更直接的判断其最大值和最小值。定轴定区间指的是函数的区间和对称轴都是固定不变的，只需要通过观察函数图象变化进行最大值和最小值的判断。

例如，求出函数y=x2-2x-3在区间[-2，2]上的最大值。

解题思路：观察函数图像，在闭区间上，这个函数的最值会出现在闭区间的顶点，或者出现在闭区间的端点，这个函数开口是向上的，在端点和顶点上都有可能取得最值。观察所画的草图可以得出最大和最小值的位置，根据已知方程式可以得出其对称轴x=1，所以最小值应该在x=1处取得，即ymin=-4，；最大值应该在x=-2处取得，即ymin=5。

（二）定轴动区间

定轴动区间指的是函数的对称轴是可以确定的，但函数的闭区间是不能确定的，区间内的函数存在着变量。

例如，求出y=-x2+2x-2在区间[t，t+1]上的最大值和最小值的取值。

解题思路：此题最大的问题在于函数的区间是变量，所以不能通过直接观察函数的端点和顶点进行最大值和最小值的运算。在这个题解题的过程中，需要分类讨论，要根据区间端点与对称轴之间存在的距离关系进行最大值和最小值的取值。

通过已知函数可以看出对称轴x=1，当函数的对称轴在区间的左边时，t+1<1，ymax=y（t+1）=-t2-1；当函数的对称轴在区间范围内时，t≤1≤t+1→0≤t≤1，ymax=y（1）=-1；当函数的对称轴在区间的右边时，t≤1，ymax=y（t）=-t2+2t-2。

结束语：

初中函数最值问题考查的范围内容复杂，要求学生逻辑思维能力强，并且能灵活的进行函数最值解题，对不同的题型要有不同的解题方法。本文结合了初中常见求函数最值的方法进行例题研究，希望能帮助学生在实际学习中能顺利的进行函数最值求解，掌握多种解决函数最值问题的求解方法。

参考文献：

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