数学教学中思维品质的培养

代四新

我们现在培养的学生正是二十一世纪的人才，二十一世纪需要的德才兼备的创造性的人才。为了培养更多更好的优秀人才，在重视学生全面发展过程中，应注重思维品质的培养。培养学生的思维品质就是要培养学生探索问题的广阔性、灵活性、敏锐性、独立性、批判性和创造性。要培养思维品质，就必须在教学中启发学生从不同方面，利用不同方法，对同一问题进行思考，从而使学生思维的流畅性、变通性和独特性得到发展。我在数学教学实践中注重采用“一题多解、联想化规、一题多变、设置误区、逆向思考、观察尝试”来培养学生思维品质。

一、一题多解，培养思维的广阔性

思维的广阔性是指思维发挥的广阔程度，集中表现在思路宽广，能全面考察问题，从多角度寻求解决问题的方法。教学中要发挥典型例题引导学生从多角度、多方位观察和思考问题，在广阔的范围内寻求解法，然后引导他们找出多种解法的共同规律和最佳方法。

例1 已知二次函数图象与X轴相交于A（-1，0），B（3，0）两点，且顶点纵坐标为-8，求此二次函数的解析式。

在解题时，绝大多数同学先设解析式 ，然后把已知条件代入解析式和顶点坐标公式中，列出方程式，求出a、b、c的值代入解析式中获得。在解完后，问还有别的解法吗？此时引导学生分析，由抛物线的对称性可知，抛物线的顶点坐标为（1，-8），从而设解析式为 即 ，再将A点或B点的坐标代入顶点式即可求得a=2，把a代入 中便获得；在解完后进一点启发联想 = ，设抛物线解析式为 ，其中 是图象与 轴交点的横坐标，即 ， ，所以 ，再将顶点坐标（1，-8）代入上式，求出a=2，就可得到结果。

例2 已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，CE为中线，延长AB至D，且BD=AB。

求证：CD=2CE

在这一题中，题目文字不多，但解题方法却不少，到了八年级下学期期中考试前，很多同学还是用三角形全等的方法去证明。方法是：

证明1：如图（1）取CD中点F，连BF

∵B是AD中点，F是AC中点

∴BF∥AC且BF= AC

而BE= AB= AC

∴BE=BF

又∵BF∥AC

∴∠FBC=∠ACB=∠ABC

在△BEC和△BFC中

BC=BC；∠FBC=∠EBC；BE=BF

∴△BEC≌△BFC（SAS）

∴CE=CF

而CD=2CF

∴CD=2CE

很明显，利用三角形全等的方法证明此题比较麻烦，我在此时就提示还有没有其他的方法呢？引导学生分析，根据条件中出现的中点，要发挥中点的作用，尝试找出AC的中点F，连接BF又如何呢？有些同学马上就意识到了，这样利用中位线定理，更简单了。

证明2：如图（2）取AC的中点F，连BF

则CE=BF（等腰三角形中线等长）

∵B是AD中点，F是AC中点

∴BF= CD

∴CE= CD

即CD=2CE

在讲到此处时，有些同学明显感觉很激动，我便又说，这两种方法都需要作辅助线，还不够简单，能不能不作辅助线就证明出来呢？此时大家激动的心情又平静下来，我边说边提示，△AEC和△ACD这两个三角形有什么关系呢？这一下子，学生马上意识到这两个三角形相似，并且很快写出了证明过程。

证明3：如图（3）在△AEC和△ACD中

∠A公用，

∴△AEC∽△ACD

∴

∴CD=2CE

解完后让学生观察，教师总结。第一种方法思路自然，但运算较繁；第二种方法简练；第三种方法巧妙，利用一题多解，使知识结构的建立更加合理有序，彼此关联，融会贯通，从而有效地培养思维的广阔性。

二、联想化规，培养思维的灵活性

思维的灵活性是指思维的灵活程度，其集中表现为能根据问题的基本情况，及时地改变观察和思维角度，提示本质联系，迅速解题。转化思想在初中数学中，有着广泛的应用，如在数学解题中，求代数式的值，解一元二次方程，分式方程和方程组，证明线段和差关系，证明线段的倍半关系，计算不规则图形的面积的指导思想都是转化思想，其根本特征：把所解决的问题转化、归纳为已经解决了的问题。

例3 过△ABC的顶点C作一直线与中线AD及边AB分别交于E、F。

求证： =

本题直接证明是很困难的，通过分析已知条件，并联想平行线与线段成比例定理，过D作DG∥CF，交AB于G，则 ，再证FG= FB，代入上式便得证。

本题通过联想，把证 = 转化为证 ，在证出FB和FG的关系，很快可以获证，能否合理地转化或变换问题是衡量思维的灵活性的重要标志，培养学生思维灵活性，就是使学生的思维始终处在思考问题的动态之中。

三、一题多变，培养思维的深刻性

思维的深刻性是指思维的抽象程度、逻辑水平和思维活动的深度。其集中表现为能深入地思考问题，教学中，教师要善于挖掘题目潜在的功能，恰当地对题目进行延伸、演变、拓展，使学生的思维处于积极的最佳状态，从而培养学生思维的深刻性。

例4 已知四边形中，AD∥BC，BD平分∠ABC，求证：AB=AD

变式（一）已知：AB=AD，BD平分∠ABC，求证：AD∥BC。

变式（二）已知：AB=AD，AD∥BC，求证：BD平分∠ABC。

又如：例5：在方程 =0中，若k为任意实数，此方程有无实根，为什么？

也可将结论作如下变化：

（1）若方程有相等实根，求k的值；

（2）若方程有绝对值相等的根，求k的值；

（3）若0﹤k﹤ ，确定此方程二根的符号；

（4）在什么情况下方程有两个负根。

由于问题多变，学生不断变换应用的范围和方式，从而在应用中求活求通。

再如：a、b、c是△ABC的三边且满足 ，求证：△ABC是等边三角形。

这是一道常见的数学题，应用配方法以及平方和为非负数的性质可证，若把例子中条件“ ”换成“ -3abc=0”，或者“3 +4（a+b+c） +4（ab+bc+ac）=0有两个等根”，在求证便可以开拓学生思维，加深对问题的理解。

通过一题多变，学生广泛地联系了各知识点，收到了举一反三，深化知识之效果。

四、设置误区，培养思维的批判性

思维的批判性是指思维活动中独立分析和批判的程度，其表现为不受暗示的影响，能严格而客观地评价，检查思维的结果，教学中要鼓励学生发现问题，提出问题，对教师的讲述和教科书的陈述敢于发表不同看法。教师可以给出似是而非的问题启发进行讨论，辨别真假，或故意对某些问题作出错误回答，组织讨论，找出错误所在和产生的原因，引导学生正确评价自己的解题思路，有效地培养思维的批判性。

例6 已知： ，求此比值。

解：由等比性质，得

= =2

多数同学为解题成功而高兴，我说这有没有问题呢，或者有没有漏洞呢？学生感到惊讶，问题在哪里呢？

让学生说出等比公式成立的条件，进一步引导， 是不是等于0呢？让学生明白错的原因在于应用等比性质时忽视了等比性质成立的条件。

正确解法：

（1）若x+y+z≠0时，由等比性质得出结果为2。

（2）若x+y+z=0时，则x+y=-z，因此，该比值为-1。

从某种意义说，学生的思维发展是在与失误斗争过程中实现的，学生失误本来是坏事，但通过师生的努力完全可变为好事，只有让学生尝过失误的苦头，他们的思维才逐步趋于完善，以致成熟。

五、逆向思考，培养思维的敏捷性

思维的敏捷性是指思维活动的反应速度，而逆向思维更是消除思维定势影响，培养敏捷性思维的有效途径。

在初中数学的教学内容中，利用逆向思维的例子屡见不鲜，如代数中许多性质的导出就是这样，有理数减法法则：a-b=a+（-b）的导出就巧妙地利用了逆向思维，并不直接计算a与b的差，而是反过来看a与-b的和，这样就将有理数减法运算转变成学生所熟悉的加法运算了；对于有理数除法性质：a÷b=a （b≠0）也是这样。通过这些性质的导出，既培养了学生顺向思维与逆向思维方式，同时对学生理解在有理数范围内加与减、乘与除的统一有很大帮助。

例7：已知一元二次方程 =0的两根为 ，不解方程求 的值。

这道题因为要求不解方程，所以很难直接求出，但利用学生熟悉的 ，逆向思考 = 便可求出。

六、观察尝试，培养思维的独创性

思维的独创性是指思维活动的内容、途径和方法的自主程度，其集中表现为善于独立思考，思维不循常规，勇于创新。教学中，对那些学生感到无从下手，在无计可施时，要求学生对已知进行多角度、全方位的观察，灵活地应用所学知识，不断地突破思维定势的束缚，寻找问题的突破口，使问题得出简解、巧解。

例8计算

此题用常规思维难以解决，通过观察，分析该题的特点，原式平方后仍含有原式，故可用“自身代换法”予以解决。

设 = ，则 =6+ =6+

即 -6=0，解得 =-2（舍）， =3

例9 把循环小数0.252525……化为分数

此题中出现的数是一个无限循环小数，肯定可以化成一个分数，但是如何化成一个分数，小数无从下手，通过观察，该数扩大100倍后仍是一个无限循环小数，故也可用“自身代换法”予以解决。

设 =0.252525……，那么 =25.2525……=25+x

解此一元一次方程，可得 = ，即0.252525……=

总而言之，培养学生良好的思维品质是一个长期的过程，只要我们努力探索，不断研究，就一定能为二十一世纪中华民族伟大复兴培养出创造性的人才。