随机捕食—食饵模型正解的存在唯一性

杨丽贤++祖力

摘要：本文考虑一个具有白噪声扰动的随机对偶型捕食-食饵系统.利用随机微分方程基本理论，并结合停时和随机殃理论，得出系统存在唯一正解的充分条件.

关键词：随机捕食-食饵模型；存在唯一性；停时

Abstract：In this paper，we mainly consider a stochastic predator-prey model disturbed by white noise.Using the basic theory of stochastic differential equations，and random bullet theory and combined with stopping time，we obtain the sufficient condition of existence of the unique solution.

Keywords：Stochastic predator-prey model；Existence and uniqueness；stopping.

1 引言

自然界生物种群之间的关系主要分为捕食关系，竞争关系以及互惠关系，而中捕食关系模型是所有模型中最基本和常见的关系[1-3]。而种群的斑块扩散现象是在生物延续发展历史轨迹中起着重要作用的因素[4-7]，在一些斑块中，如果没有生物在斑块的迁移，即地区之间被孤立起来，可能由于食物匮乏，环境恶劣等因素导致物种的灭绝，因此本文将食饵种群的斑块扩散纳入其中，并且在文献[7]的基础上，就食饵具有斑块扩散的对偶型随机捕食-食饵模型在环境白噪声影响下的正解存在性加以证明，随机模型如下

其中 是互相独立的布朗运动，正常数 ， 表示白噪声的强度。假定 是非负常数，且 不可约，参数均为正的常数。为了方便起见，我们用 。

2 主要结论

本章将给出公式（1.1）正解存在唯一性的证明过程，主要用到了伊藤公式。

定理2.1 对于任何给定的初始条件 ，系统（1.1）存在唯一正解 ，且以概率1存在于 中。

证明：虽然方程（1.1）的系数是局部Lipschitz连续的，但不满足线性增长条件，一般的存在唯一性定理的结论不能应用到这个系统中。于是对任意给定的初始条件 ，在 中存在唯一一个局部最大解，用 表示，其中 是爆炸时间。这里为了得到解的全局性，我们需要证明 。现定义一个 -函数 如下

，利用伊藤公式，可得

明显的，二次项系数为负值，所以能找到一个正的常数K*使得

且K*不依赖于变量和t。

另一方面，设 为充分大且使得 。对任意整数 定义一个停时 ，

这里规定 ， 为空集。明显的，当 时 是单调递增的。令 ，因此 几乎必然成立，所以只要说明 几乎必然成立即可。不妨设 满足 ，于是对 由Ito公式和式子（2.2）

（2.1）

对任意一个 ，定义

。

显然 。于是能够找到一常数 使得

。

且当 我们有

。

由于 是任意的正数，因此有

，

这说明系统（1.1）在 上存在唯一的全局解 ，结论得证。

参考文献：

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[2]张凤德，陈晓星，张惠英.捕食者具有阶段结构Holling II 类功能性反应的捕食模型正周期解的存在性以及全局吸引性.数学物理学报，26（1），93-103，2006，.

[3]黑力军，陈斯养.具有时滞三斑块扩散捕食模型的全局稳定性，工程数学学报[J]，20（4），129-133，2003.

[4]陈跃良，腾志东，一类两斑块间脉冲扩散的捕食-被捕食模型的研究，新疆大学学报（自然科学版），29（1），23-31，2012.

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[5]E.Beretta，F.Solimano，and Y.Takeuchi，“Global stability and periodic orbits for two-patch predatorprey diffusion-delay models，” Mathematical Biosciences，85（2），153–183，1987.

[7]Li Zu，Daqing Jiang，Fuquan Jiang.Existence，Stationary Distribution，and Extinction of Predator-Prey System of Prey Dispersal with Stochastic Perturbation.Abstract and Applied Analysis，2012，1-24，2012.doi：10.1155/2012/547152.