旋转体的体积的计算

蒋银山

摘要：旋转体的的体积计算方法有⑴以 为积分变量绕 轴旋转，⑵以 为积分变量绕 轴旋转，（3）以 为积分变量绕 旋转，⑷以 为积分变量绕 轴旋转，⑸以 为积分变量绕 轴旋转，（6）以 为积分变量绕 旋转

关键词：连续曲线；旋转体的体积；曲边梯形；空心圆柱

由于旋转体的体积的种类很多，计算比较复杂，为了便于同学们能过掌握好现总结如下

1.以 为积分变量绕 轴旋转

由连续曲线 ，直线 及 轴围成的平面图形绕 轴旋转一周而成的旋转体的体积。相应于 上的任以小区间 的窄曲边梯形绕 轴旋转而成的体积近似于以 为底半径、 为高的扁圆柱体的体积 .

一般地由连续曲线 围成的图形绕 轴旋转一周而成的旋转体的体积。

简记为：

2.以 为积分变量绕 旋转

由连续曲线 ，直线 及 轴围成的平面图形绕 轴旋转一周而成的旋转体的体积。相应于 上的任以小区间 的窄曲边梯形绕 轴旋转而成的体积为空心圆柱近似于以半径为 的圆的周长为 为长、 为宽、 为高的长方体的体积 .则

一般地由连续曲线 围成的图形绕 轴旋转一周而成的旋转体的体积。

简记为：

3.以 为积分变量绕 旋转

由连续曲线 ，直线 及 围成的平面图形绕 轴旋转一周而成的旋转体的体积。相应于 上的任以小区间 的窄曲边梯形绕 轴旋转而成的体积为近似于以底面半径为 、 为高的圆柱的体积 .则

由连续曲线 及 轴围成的图形绕 旋转一周而成的旋转体的体积。

一般地由连续曲线 围成的图形绕 轴旋转一周而成的旋转体的体积。

简记为：

4.以 为积分变量绕 轴旋转

由连续曲线 ，直线 及 轴围成的平面图形绕 轴旋转一周而成的旋转体的体积。相应于 上的任以小区间 的窄曲边梯形绕 轴旋转而成的体积为空心圆柱近似于以半径为 的圆的周长为 为长、 为宽、 为高的长方体的体积 .则

一般地由连续曲线 围成的图形绕 轴旋转一周而成的旋转体的体积。

5.以 为积分变量绕 轴旋转

由连续曲线 ，直线 及 轴围成的平面图形绕 轴旋转一周而成的旋转体的体积。相应于 上的任以小区间 的窄曲边梯形绕 轴旋转而成的体积为近似于以半径为 的圆、高为 的圆柱的体积.

一般地由连续曲线 围成的图形绕 轴旋转一周而成的旋转体的体积。

简记为：

5.以 为积分变量绕 旋转

由连续曲线 ，直线 及 围成的平面图形绕 轴旋转一周而成的旋转体的体积。相应于 上的任以小区间 的窄曲边梯形绕 旋转而成的体积为近似于以底面半径为 、 为高的圆柱的体积 .则

由连续曲线 及 轴围成的图形绕 旋转一周而成的旋转体的体积。

一般地由连续曲线 围成的图形绕 轴旋转一周而成的旋转体的体积。

简记为：

例、设平面图形 ，求 分别绕直线 与 旋转一周而成的旋转体的体积 和 .

解：

参考文献：

[1]李正元，李永乐，袁荫棠： 《 数学复习全书》 ，国家行政学院出版社，2013（2）.

[2]陈启浩，《考研数学快捷解题》 ，机械工业出版社，2010（4）.