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王金凤++李喆

摘要：梯形的证明与计算是中学数学学科的重要部分，也是数学学习中的一个难点。一般情况下，通过构造辅助线来达到解题目的。当梯形中含有中点时，如何通过这个中点构造辅助线，使问题更简单是中学生解答这类题型的关键。本文探讨这了类梯形辅助线的做法，将其转化为简单的三角形和平行四边形，从而达到解题目的。

关键词：梯形；中点；辅助线

梯形是一种特殊的四边形，它是平行四边形和三角形的结合体。因为它有一组对边平行，使得它在辅助线的作法方面有了较多的选择余地。在求解与梯形相关的问题时，可以通过添加辅助线的方法，构造三角形，平行四边形，再应用三角形和平行四边形的相关性质和特征解决问题。因此，解决梯形的相关问题时既要考虑它与平行四边形之间明显的不同，又要学会利用平行四边形去解决梯形中的相关问题。本文着重讨论含有中点的梯形中辅助线的做法。

1.在梯形中出现一腰上的中点时，根据梯形上下底的平行关系，作梯形的中位线，并由梯形中位线与上下底之间的长度关系，达到解题目的。

如图，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中点，∠AOD=90°，求证：AB+CD=AD.

证：取AD的中点E，连接OE，则易知OE是梯形ABCD的中位线，

从而

OE= 1/2（AB+CD） ①

在△AOD中，∠AOD=90°，AE=DE

所以

OE= 1/2 AD ②

由①、②得AB+CD=AD。

2、在梯形中出现两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线，从而达到解题目的。

如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：（1）EF//AD

（2）EF= 1/2（BC-AD）

证：连接DF，并延长交BC于点G，易证△AFD≌△CFG

则AD=CG，DF=GF

由于DE=BE，所以EF是△BDG的中位线

从而EF//BG，且EF= 1/2 BG

∵AD//BG，BG=BC-CG=BC-AD

∴EF//AD，EF= 1/2（BC-AD）

3、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点延长线段，构造出两个全等的三角形，利用全等达到解题的目的。

在梯形ABCD中，AD//BC，∠BAD=〖90〗^0，E是DC上的中点，连接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。

解：分别延长AE与BC，并交于F点

∵∠BAD=〖90〗^0且AD//BC

∴∠FBA=〖180〗^0-∠BAD=〖90〗^0

又∵AD//BC

∴∠DAE=∠F

∠AED=∠FEC

DE=EC

∴△ADE≌△FCE

∴ AE=FE

在△ABF中∠FBA=〖90〗^0 且AE=FE

∴ BE=FE

∴ 在△FEB中 ∠EBF=∠FEB

∠AEB=∠EBF+ ∠FEB=2∠CBE

4.在梯形中出现一腰上的中点时，可延长底边和一条过中点的线段，两者交于一点，从而构造全等三角形，找到线段之间的大小关系，达到解题目的。

已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，E是CD中点，试问：线段AE和BE之间有怎样的大小关系？

解：AE=BE，理由如下：

延长AE，与BC延长线交于点F.

∵DE=CE，

∠AED=∠CEF，∠DAE=∠F

∴△ADE≌△FCE

∴AE=EF

∵AB⊥BC

∴BE=AE.

5.在梯形中出现一腰中点的时候，过这点构造另外一腰的平行线，利用三角形全等和平行四边形的性质，达到解题目的。

已知：梯形ABCD中，AD//BC，E为DC中点，EF⊥AB于F点，AB=3cm，EF=5cm，求梯形ABCD的面积.

解：如图，过E点作MN//AB，分别交AD的延长线于M点，交BC于N点.

∵DE=EC，AD//BC

∴△DEM≌△CNE

四边形ABNM是平行四边形

∵EF⊥AB，

∴S梯形ABCD=S□ABNM=AB×EF=15cm2.

6.在梯形中出现两底边的中点时，过上底中点做两腰的平行线，构造特殊三角形，根据特殊三角形的性质，达到解题目的。

如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是AD、BC的中点，若∠B+∠C=〖90〗^°.AD=7，BC=15，求EF.

分析：因为∠B+∠C=〖90〗^°，通过平移AB、DC：构造直角三角形MEN，使EF恰好是△MEN的中线。

解：过E作EM//AB，EN//DC，分别交BC于M、N，

∵∠B+∠C=〖90〗^°

∴∠EMN+∠ENM=〖90〗^°

∴△MEN是直角三角形 ∵AD=7，BC=15

∴MN=8

∵E、F分别是AD、BC的中点

∴F为MN的中点

∴EE=1/2 MN=4

总之，解题方法一定要合理选择，灵活应用。在具体的教学过程中，教师一定要引导学生对上述方法灵活应用，不能用固定模式要求学生机械记忆，做到“教无定法，贵在得法”。数学是思维的体操，对数学的学习应重理解，在理解的基础上掌握合理的解题方法。学生也应该加强对自身思维能力和理解能力的锻炼，做到具体问题具体分析，不盲目死记硬背。只有这样，学生的数学学习能力和学习成绩才能有效提升。