CVaR模型在二层供应链网络中的应用

王亚燚

【摘要】本文建立涉及随机因素的二层供应链网络，应用求解随机非线性互补问题的条件风险价值模型得出其求解方法.

【关键词】二层供应链；条件风险价值；应用

为满足在市场环境复杂多变下供应链网络的均衡，本文将二层供应链网络均衡问题转化为随机非线性互补模型.应用参考文献[1]中求解随机非线性互补的CVaR的近似模型得出其求解方法.

一、符号与假设

本文假设m个非合作竞争的生产商生产同质产品，记某一生产商为i，n个非合作竞争的零售商利用随机需求代替消费者，记某一零售商为j，并引入如下符号：qij-生产商i与零售商j之间的产品交易量，Q=（q11，…，qmn）T-所有生产商与零售商的产品交易量的列向量，sj=∑mi=1qij-零售商j得到的产品总量，Ti>0-生产商i的最大生产能力，p1ij-生产商i给零售商j的单位产品价格，p2j-零售商j的单位产品售价，δj=（sj，dj）=max{0，sj-dj}-零售商j处供大于求的量，其单位产品罚系数为uj，δj=（sj，dj）=max{0，dj-sj}-零售商j处供小于求的量，其单位产品罚系数为uj.为满足实际需要，本文提出生产商i的生产费用函数fi=fi（Q，ω）与其需支付的交易费用函数cij=cij（qij，ω）受突发事件影响，消费者需求随机，记为dj=dj（p2j，ω），其中ω∈Ω是一个取值范围在（0，1）上的随机变量，服从连续分布，Ω是非空紧集，且fi，cij均在Ω上关于qij二次连续可微.

二、模型的构建

根据上述假设条件与符号说明，生产商实现利润最大化的优化模型为：

max∑nj=1p1ijqij-fi-∑nj=1cij s.t.qij≥0，j=1，…，n∑nj=1qij≤Ti

零售商实现利润最大化的优化模型为：

max p2jmin（sj，dj）-ujδj（sj，dj）-ujδj（sj，dj）-∑mi=1p1ijqij

s.t. qij≥0

∑nj=1qij≤Ti，i=1，…，m

应用随机经济均衡条件得出零售商与消费者之间交易的均衡，表示为：对任意的零售商j，

dj（p2j*，ω）≤∑mi=1q*ija.e.，p*2j=0，=∑mi=1q*ija.e.，p*2j>0.（1）

对零售商中非光滑函数进行CHKS光滑，使最优化模型中的函数均为连续可微，综上，带有生产产量限制和随机需求的二层供应链网络均衡条件可以表示为对每个生产商与零售商的最优化问题求其一阶必要性条件，所得到的随机变分不等式与等价（1）的随机变分不等式之和，即求解（Q*，p*2）∈K×Rn+满足：

∑mi=1∑nj=1fiqij+cijqij+12（p2j*+uj+uj）s*j-dj4μ21+（s*j-dj）2+1-p2j*-uj×（qij-qij*）+∑nj=1（∑mi=1qij*-dj）×（p2j-p2j*）≥0，（Q，p2）∈K×Rn+.

其中K=∏mi=1Ki，KiRn为优化问题的可行域，令X=（Q，p2）T∈K×Rn+，定义映射F=K×Rn+×Ω→K×Rn+为F（X，ω）=（F1（X，ω），F2（X，ω）），其中

F1（X，ω）=fiqij+cijqij+12（p2j*+uj+uj）s*j-dj4μ21+（s*j-dj）2+1-p2j*-uj，i，jF2（X，ω）=∑mi=1qij*-dj，j

则均衡条件等价于如下互补模型：求解X∈K×Rn+，满足

X≥0，F（X，ω）≥0，XTF（X，ω）=0（2）

三、二层供应链网络均衡的CVaR模型

根据假设，互补问题（2）中的F（X，ω）在Ω上关于X二次连续可微，由文献得出供应链网络均衡问题的CVaR模型的近似问题为：

min（X，u）∈K×Rn+×Rθk（X，u）=u+（1-α）-11Nk∑ωi∈Ωkμkln（exp‖Φ（X，ωi）‖2μk+1），

其中，α∈（0，1）表示给定的置信水平，μ>0为光滑化参数，Φ（X，ω）：K×Rn+×Ω→

K×Rn+定义为

Φ（X，ω）=Φ（X1，F1（X，ω））Φ（Xmn+n，Fmn+n（X，ω））

Φ为限定的NCP函数Φ（a，b）=max2（ab，0）+max2（-b，0）.

根据随机非线性互补问题CVaR模型的近似问题的全局最优解的聚点为其全局最优解是以概率1成立的，即可求得供应链网络均衡问题.

【参考文献】

[1]罗美菊，刘红玲.随机非线性互补问题的条件风险价值模型及其求解方法[J].数学与系统科学，2015（9）：1081-1091.